ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна \(12\pi\) см\(^2\). В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен \(3\sqrt{3}\) см?

Площадь сечения круга равна \( 12\pi \), значит радиус сечения \( r \) равен \( 2\sqrt{3} \), так как \( \pi r^2 = 12\pi \), откуда \( r^2 = 12 \).

Радиус основания конуса \( R = 3\sqrt{3} \). По подобию треугольников: \( \frac{r}{R} = \frac{k}{h} \), где \( k \) — расстояние от вершины до сечения, \( h \) — высота конуса. Подставляем значения: \( \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3} = \frac{k}{h} \), значит \( k = \frac{2}{3}h \).

Высота делится на части \( k \) и \( h-k \), то есть \( \frac{2}{3}h \) и \( \frac{1}{3}h \). Отношение равно \( \frac{2}{3}h : \frac{1}{3}h = 2:1 \) от вершины.

1. Пусть высота конуса равна \( h \), а радиус основания — \( R = 3\sqrt{3} \) см. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной высоте, представляет собой круг с радиусом \( r \). Площадь этого круга по условию задачи составляет \( 12\pi \) см\( ^2 \). Запишем формулу площади круга: \( S = \pi r^2 \). Подставляя значение площади, получаем \( \pi r^2 = 12\pi \), отсюда \( r^2 = 12 \), значит \( r = 2\sqrt{3} \) см.

2. Рассмотрим подобие между большим и малым кругами: если провести вертикальный срез конуса через его ось, получим два подобных треугольника. Один треугольник — высота конуса \( h \) и радиус основания \( R \), другой — высота от вершины до сечения \( k \) и радиус сечения \( r \). По свойству подобных треугольников: \( \frac{r}{R} = \frac{k}{h} \). Подставим известные значения: \( \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{k}{h} \), то есть \( \frac{2}{3} = \frac{k}{h} \). Отсюда \( k = \frac{2}{3}h \).

3. Теперь определим, в каком отношении сечение делит высоту конуса, считая от вершины. От вершины до сечения — \( k = \frac{2}{3}h \), от сечения до основания — \( h — k = h — \frac{2}{3}h = \frac{1}{3}h \). Отношение этих отрезков: \( \frac{k}{h-k} = \frac{\frac{2}{3}h}{\frac{1}{3}h} = \frac{2}{1} \). То есть, плоскость делит высоту конуса в отношении \( 2:1 \) от вершины.