ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие усечённого конуса, угол между которыми равен \(90^\circ\), проведена плоскость, пересекающая большее основание по хорде длиной \(a\), а меньшее — по хорде длиной \(b\) и отсекающая от окружности каждого основания дугу, градусная мера которой \(120^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Радиусы оснований: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), \(r = \frac{b}{\sqrt{3}}\).

Площадь боковой поверхности сектора усечённого конуса: \(S = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6} (a^2 — b^2)\).

Радиусы оснований усечённого конуса определяются через стороны правильных многоугольников, лежащих в основании. Если основание конуса — правильный многоугольник со стороной \(a\), то радиус описанной окружности вокруг этого многоугольника равен \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Аналогично, если сторона основания меньшего многоугольника равна \(b\), его радиус будет \(r = \frac{b}{\sqrt{3}}\). Такое представление радиусов через стороны важно для дальнейших вычислений, так как позволяет выразить геометрические параметры усечённого конуса через известные величины.

Площадь боковой поверхности сектора усечённого конуса вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6} (a^2 — b^2)\). Здесь \(a^2\) и \(b^2\) — квадраты сторон многоугольников, лежащих в основаниях. Формула отражает зависимость площади от разности квадратов сторон оснований, что связано с разностью площадей круговых секторов, образующих боковую поверхность. Коэффициенты \(\frac{1}{6}\), \(\pi\) и \(\sqrt{6}\) возникают из геометрических преобразований при развертке боковой поверхности и учёте углов сектора.

Если требуется получить численное значение площади, подставляют конкретные значения \(a\) и \(b\) в формулу. Например, при \(a = 3\) и \(b = 2\), получаем \(S = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6} (3^2 — 2^2) = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6} (9 — 4) = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6} \times 5\). Таким образом, можно вычислить площадь для любого сочетания сторон оснований, используя только приведённую формулу. Если необходимо представить данные в виде таблицы, то для различных значений \(a\) и \(b\) таблица может выглядеть так: