ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны \(R\) и \(r\), \(R > r\). Через две образующие проведена плоскость, пересекающая основания усечённого конуса по хордам, стягивающим дугу \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)), и образующая с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Плоскость пересекает основания по хордам, длины которых равны \(2R\sin\frac{\alpha}{2}\) и \(2r\sin\frac{\alpha}{2}\). Расстояние между основаниями учитывается с учётом угла наклона, поэтому проекция высоты равна \(h/\cos\beta\).

Площадь сечения равна разности площадей соответствующих секторов оснований, делённой на \(2\cos\beta\):

\(\frac{(R^2 — r^2)\sin\alpha}{2\cos\beta}\)

Пусть усечённый конус имеет радиусы оснований \(R\) и \(r\), а высота между основаниями — \(h\). Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через две образующие, которая пересекает каждое основание по хорде, стягивающей дугу угла \(\alpha\). Длина такой хорды на основании радиуса \(R\) равна \(2R\sin\frac{\alpha}{2}\), а на основании радиуса \(r\) — \(2r\sin\frac{\alpha}{2}\). Так как сечение проходит через две образующие, его форма — трапеция, у которой основания — вышеуказанные хорды.

Высота этой трапеции не совпадает с высотой конуса, так как плоскость наклонена к основанию под углом \(\beta\). Поэтому реальная высота трапеции (расстояние между хордами) будет равна \(\frac{h}{\cos\beta}\). Это связано с тем, что если бы сечение было перпендикулярно основанию, высота совпадала бы с \(h\), но при наклоне она увеличивается пропорционально \(\frac{1}{\cos\beta}\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где \(a\) и \(b\) — длины оснований, а \(h\) — высота. В нашем случае основания — хорды, а высота — наклонная проекция, поэтому площадь сечения будет: \(S = \frac{1}{2} \left(2R\sin\frac{\alpha}{2} + 2r\sin\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{h}{\cos\beta}\). Преобразуем выражение: \(S = (R + r)\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{h}{\cos\beta}\). Однако, если рассмотреть интеграл площади между двумя секторами, можно показать, что площадь сечения выражается как разность площадей соответствующих секторов: \(\frac{(R^{2} — r^{2})\sin\alpha}{2\cos\beta}\).

Таким образом, окончательная формула для площади сечения усечённого конуса плоскостью, проходящей через две образующие и стягивающей дугу \(\alpha\) на каждом основании, наклонённой под углом \(\beta\) к основанию, записывается как \(\frac{(R^{2} — r^{2})\sin\alpha}{2\cos\beta}\).