ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле: \( S = 8\pi a^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \).

Эта формула получается из геометрических свойств фигуры, учитывая радиус основания \( a \) и угол \( \alpha \). Фактор \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) отражает зависимость площади от угла между образующими.

Площадь поверхности тела вращения, образованного вращением хорды длиной \( 2a \) вокруг оси, проходящей через её концы, определяется через интеграл по длине образующей с учетом радиуса вращения. При вращении такой хорды вокруг оси, угол между образующими обозначается через \( \alpha \), а радиус окружности, по которой движется каждая точка хорды, зависит от этого угла. Для вычисления площади боковой поверхности используется формула поверхности тела вращения: \( S = 2\pi \int r(x) \, ds \), где \( r(x) \) — расстояние от оси вращения до точки на кривой, а \( ds \) — элемент длины дуги.

В данном случае, хорда вращается вокруг оси, и каждая точка хорды описывает окружность радиусом, зависящим от положения точки и угла \( \alpha \). Если рассмотреть треугольник, построенный на этой хорде, то высота, опущенная из центра дуги на хорду, равна \( a \cos \frac{\alpha}{2} \). Таким образом, радиус окружности, описываемой точкой при вращении, равен \( a \cos \frac{\alpha}{2} \), и вся хорда описывает поверхность, площадь которой пропорциональна квадрату этого радиуса.

В результате, площадь поверхности тела вращения выражается формулой \( S = 8\pi a^{2} \cos^{2} \frac{\alpha}{2} \). Здесь коэффициент \( 8\pi \) возникает из учетa полной длины хорды и полного угла вращения, а \( a^{2} \cos^{2} \frac{\alpha}{2} \) отражает геометрическую связь между радиусом вращения и углом между образующими. Эта формула позволяет быстро находить площадь для любых значений \( a \) и \( \alpha \), если известна длина хорды и угол между её концами.