ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно к боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна
\(
\frac{1}{2} \pi a^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2} \left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right)
\)

Основание треугольника \(a\), угол при вершине \(\alpha\).
Боковая сторона равна \(b = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).
Радиус вращения и высота выражаются через котангенс половины угла.
Подставляем значения в формулу площади боковой поверхности, получаем итоговое выражение.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\). При вращении этого треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину угла и перпендикулярной боковой стороне, образуется тело вращения. Требуется найти площадь его поверхности.

Длину боковой стороны выразим через основание и угол: \(b = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). Высота из вершины на основание равна \(h = b\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}} \cos\frac{\alpha}{2}\). Радиус вращения связан с расстоянием от вершины до основания, а длина образующей — с боковой стороной треугольника. При вращении каждая точка основания описывает окружность с определённым радиусом, зависящим от положения точки.

Площадь поверхности вычисляется по формуле \(S = 2\pi R l\), где \(R\) — радиус вращения, \(l\) — длина образующей. Подставляя выражения через \(a\) и \(\alpha\), учитывая, что \(\cot\) — это котангенс, получаем окончательную формулу для площади поверхности:
\(
\frac{1}{2} \pi a^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2} \left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right)
\)
Здесь \(\cot^2 \frac{\alpha}{2}\) — квадрат котангенса половины угла, который возникает при преобразованиях радиуса и высоты, а выражение в скобках учитывает вклад всех точек основания при вращении.