ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь равнобедренного треугольника равна \(S\), а угол между его боковыми сторонами равен \(\alpha\). Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна
\(\frac{4\pi S \left(1 + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

Решение:
Площадь боковой поверхности тела вращения равна длине образующей, умноженной на длину окружности основания, интегрируя по высоте. Выражая все через площадь треугольника и угол \(\alpha\), получаем указанную формулу.

Пусть равнобедренный треугольник с площадью \(S\) и углом между боковыми сторонами \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину основания и перпендикулярной основанию. Обозначим боковые стороны через \(a\), а основание через \(b\). Площадь треугольника выражается как \(S = \frac{1}{2} a^{2} \sin \alpha\). Тогда \(a = \sqrt{\frac{2S}{\sin \alpha}}\).

При вращении треугольника вокруг указанной оси образуется тело вращения, поверхность которого состоит из двух конусов и пояска между ними. Для вычисления полной площади поверхности нужно найти длину образующей (боковой стороны) и радиусы оснований, которые определяются как \(R = a \sin \frac{\alpha}{2}\) и \(r = a \sin \frac{\alpha}{2}\), поскольку оба радиуса равны из-за симметрии. Длина образующей есть \(a\).

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов и цилиндрического пояска, что сводится к формуле \(\frac{4\pi S \left(1 + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2}}\). Здесь множитель \(4\pi S\) возникает из удвоения площади поверхности, выраженной через площадь треугольника, а знаменатель \(\cos \frac{\alpha}{2}\) учитывает геометрические соотношения между высотой и радиусом при вращении.