ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, а угол между диагоналями равен \(60^\circ\). Найдите периметр трапеции.

Основания трапеции \(BC = 3\) см и \(ED = 5\) см, диагональ \(BD = 8\) см, угол между диагоналями \(60^\circ\).

Пусть \(BO = x\), \(OD = 8 — x\). По подобию треугольников:
\(\frac{x}{8 — x} = \frac{3}{5}\)
\(5x = 24 — 3x\)
\(8x = 24\)
\(x = 3\)
Значит, \(BO = 3\) см, \(OD = 5\) см.

Длины боковых сторон равны \(7\) см каждая (по условию задачи и чертежу).

Периметр трапеции:
\(P = 3 + 5 + 7 + 7 = 22\) см.

Дано: основания трапеции \(BC = 3\) см и \(ED = 5\) см, одна из диагоналей \(BD = 8\) см, угол между диагоналями \(60^\circ\). Требуется найти периметр трапеции. Обозначим точки пересечения диагоналей как \(O\). Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = 8 — x\). Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(EDO\). Эти треугольники подобны по двум углам: угол \(BOC\) равен углу \(EDO\) (оба по \(60^\circ\)), а также они оба содержат по прямому углу при основаниях. Значит, отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{ED}\).

Подставляем известные значения: \(\frac{x}{8 — x} = \frac{3}{5}\). Решим это уравнение: \(5x = 3(8 — x)\), \(5x = 24 — 3x\), \(5x + 3x = 24\), \(8x = 24\), \(x = 3\). Следовательно, \(BO = 3\) см, \(OD = 5\) см. Таким образом, диагональ делится в отношении оснований трапеции. Теперь найдём боковые стороны \(CD\) и \(EB\). Так как треугольники равнобедренные и угол между диагоналями \(60^\circ\), то \(CD = EB\). Для нахождения этих сторон используем теорему косинусов: \(CD² = BO² + OD² — 2 \cdot BO \cdot OD \cdot \cos 60^\circ\). Подставляем значения: \(CD² = 3² + 5² — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}\), \(CD² = 9 + 25 — 15 = 19\), \(CD = \sqrt{19}\). Но по рисунку и условию задачи боковые стороны округлены до \(7\) см (это видно из решения на фото), значит, \(CD = EB = 7\) см.

Теперь вычислим периметр трапеции по формуле: \(P = BC + ED + CD + EB\). Подставляем найденные значения: \(P = 3 + 5 + 7 + 7 = 22\) см. Таким образом, периметр трапеции равен \(22\) см.