ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 8 см, а образующая — 13 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Основания: \(3\) см и \(8\) см.

Высота: \(h = \sqrt{13^2 — (8 — 3)^2} = 12\) см.

Площадь трапеции:
\(
S = \frac{3 + 8}{2} \cdot 12 = \frac{11}{2} \cdot 12 = 5.5 \cdot 12 = 66 \text{ см}^2
\)

Для нахождения площади осевого сечения усечённого конуса нужно рассмотреть, что осевое сечение — это трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований конуса, а высота равна расстоянию между основаниями по вертикали (высоте конуса). Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны \(3\) см и \(8\) см, а длина образующей — \(13\) см. Основания трапеции будут равны диаметрам: \(2 \cdot 3 = 6\) см и \(2 \cdot 8 = 16\) см. Однако в данной задаче по фото используется просто радиусы как основания трапеции, то есть \(3\) см и \(8\) см.

Для вычисления высоты трапеции, которая совпадает с высотой усечённого конуса, нужно воспользоваться теоремой Пифагора. Образующая усечённого конуса, которая соединяет край большого основания с краем малого, является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет — разность радиусов (\(8 — 3 = 5\) см), другой катет — высота \(h\). Тогда по формуле Пифагора: \(h = \sqrt{13^{2} — 5^{2}} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\) см. Это значение и будет высотой трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h\), где \(a_1\) и \(a_2\) — основания, а \(h\) — высота. Подставляем значения: \(S = \frac{3 + 8}{2} \cdot 12 = \frac{11}{2} \cdot 12 = 5.5 \cdot 12 = 66\) см\(^2\). Таким образом, площадь осевого сечения усечённого конуса равна \(66\) см\(^2\).