ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В трапеции \(ABCD\), \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(\angle D = 45^\circ\), \(AD = 7\) см, \(CD = 2\sqrt{2}\) см. Трапеция вращается вокруг прямой \(AB\). Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

В треугольнике \(CHD\): \(CH^2 + HD^2 = CD^2\), где \(HD = x\), \(CH = x\), \(CD = 2\sqrt{2}\). Получаем: \(2x^2 = 8 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = 2\), значит, \(CH = HD = 2\) см.

Тогда \(BC = AD — 2 = 7 — 2 = 5\) см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \(S = \pi (BC + AD) \cdot CD = \pi (5 + 7) \cdot 2\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}\) см\(^2\).

1. Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник \(CHD\), который образуется при опускании перпендикуляра из точки \(C\) на основание \(AD\). По условию задачи угол \(D = 45^\circ\), а \(CD = 2\sqrt{2}\) см. Пусть \(CH = x\) и \(HD = x\), так как угол при \(D\) равен \(45^\circ\), значит, треугольник \(CHD\) — равнобедренный прямоугольный. По теореме Пифагора: \(CH^2 + HD^2 = CD^2\), то есть \(x^2 + x^2 = (2\sqrt{2})^2\), отсюда \(2x^2 = 8\), значит, \(x^2 = 4\), \(x = 2\) см. Следовательно, \(CH = 2\) см и \(HD = 2\) см.

2. Теперь найдём длину основания \(BC\). Поскольку \(AD = 7\) см, а \(HD = 2\) см, то \(BC = AD — HD = 7 — 2 = 5\) см. Таким образом, основания усечённого конуса, который получится при вращении трапеции вокруг прямой \(AB\), будут иметь длины \(BC = 5\) см и \(AD = 7\) см.

3. Для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса используем формулу: \(S = \pi (R_1 + R_2) l\), где \(R_1\) и \(R_2\) — радиусы оснований, а \(l\) — образующая, равная \(CD\). В нашем случае \(R_1 = BC = 5\) см, \(R_2 = AD = 7\) см, \(l = CD = 2\sqrt{2}\) см. Подставляем значения: \(S = \pi (5 + 7) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}\) см\(^2\).