ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана трапеция \(ABCD\) такая, что \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой \(AB\).

Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса, образованного вращением трапеции вокруг прямой \(AB\):

1. Найдём расстояния: \(HD = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\) см, \(AD = 8\) см, \(CD = 12\) см.

2. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса: \(S = \pi (BC + AD) \cdot CD = \pi (2 + 8) \cdot 12 = 120\pi\) см\(^2\).

1. Пусть трапеция \(ABCD\) вращается вокруг прямой \(AB\), где \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, угол \(D = 60^\circ\), а \(AB \perp AD\). Основания трапеции — \(BC\) и \(AD\), высота \(HD\), которую нужно найти. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \(CHD\), где \(CH = AB = 6\sqrt{3}\) см, угол \(HDC = 60^\circ\). По определению тангенса: \(\tan 60^\circ = \frac{CH}{HD}\), значит, \(HD = \frac{CH}{\tan 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\) см.

2. Теперь найдём длины оснований усечённого конуса, которые получаются при вращении трапеции: нижнее основание \(AD = AB + HD = 2 + 6 = 8\) см, а верхнее основание \(BC = 2\) см. Длина боковой образующей \(CD\) равна сумме двух высот, то есть \(CD = 2 \cdot HD = 12\) см. Это расстояние между основаниями усечённого конуса, то есть высота боковой поверхности.

3. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса при вращении трапеции вокруг прямой \(AB\) записывается как \(S = \pi (R_1 + R_2) \cdot l\), где \(R_1\) и \(R_2\) — радиусы оснований, а \(l\) — образующая. В нашем случае \(R_1 = 2\), \(R_2 = 8\), \(l = 12\). Подставляем значения: \(S = \pi (2 + 8) \cdot 12 = \pi \cdot 10 \cdot 12 = 120\pi\) см\(^2\).