ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна \(S\).

В наибольшем сечении радиус совпадает с радиусом основания, значит площадь равна площади основания.

\( S_{\text{наиб.}} = \frac{9}{16}S \)

1. Пусть высота конуса равна \( h \), а радиус основания равен \( R \). Основание конуса имеет площадь \( S \), то есть \( S = \pi R^2 \). Высоту конуса делят на 4 равных отрезка, значит каждый отрезок равен \( \frac{h}{4} \).

2. Если провести плоскость, параллельную основанию, через точку, находящуюся на расстоянии \( x \) от вершины конуса, то радиус сечения будет равен \( r = R \frac{x}{h} \), а площадь сечения \( S_1 = \pi r^2 = \pi \left( R \frac{x}{h} \right)^2 = S \left( \frac{x}{h} \right)^2 \).

3. Наибольшее сечение получится на расстоянии \( x = \frac{3h}{4} \) от вершины (это самая нижняя из делящих точек). Тогда площадь этого сечения равна \( S_1 = S \left( \frac{3}{4} \right)^2 = S \frac{9}{16} \).

4. Ответ: \( S_{\text{наиб.}} = \frac{9}{16}S \)