ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Сторона основания пирамиды \(a_3 = 12\,\text{см}\), боковое ребро \(l = 8\,\text{см}\).

Радиус основания описанного конуса равен \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\,\text{см}\).

Высота конуса: \(h = \sqrt{l^2 — R^2} = \sqrt{64 — 48} = 4\,\text{см}\).

Площадь осевого сечения конуса: \(S = R \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\,\text{см}^2\).

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a_3 = 12\,\text{см}\), а боковое ребро \(l = 8\,\text{см}\). Для описанного конуса радиус основания равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника основания. В правильном треугольнике радиус описанной окружности вычисляется по формуле \(R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}\), где \(a_3\) — сторона треугольника. Подставляем значения: \(R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\,\text{см}\).

Высота конуса определяется как расстояние от центра основания до вершины пирамиды. В данном случае это боковое ребро, и оно связано с радиусом основания и высотой конуса по теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + R^2\). Перепишем формулу для высоты: \(h^2 = l^2 — R^2\). Подставляем значения: \(h^2 = 8^2 — (4\sqrt{3})^2 = 64 — 48 = 16\), следовательно, \(h = \sqrt{16} = 4\,\text{см}\).

Площадь осевого сечения конуса — это площадь прямоугольного треугольника, проходящего через ось конуса и диаметр основания. Формула площади такого сечения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h\). Подставляем найденные значения: \(S = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\,\text{см}^2\).