ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса равен половине стороны квадрата: \( r = \frac{a}{2} \).

Высота конуса находится по формуле: \( SO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \).

Длина образующей конуса: \( SU = a \sqrt{\frac{\tan^{2} \alpha}{2} + \frac{1}{4}} \).

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \frac{\pi a^{2}}{2} \sqrt{\frac{\tan^{2} \alpha}{2} + \frac{1}{4}} \).

1. Пусть основание пирамиды — квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\), а вершина пирамиды — точка \(S\). Радиус основания конуса, описанного около пирамиды, равен половине стороны квадрата, то есть \( r = \frac{a}{2} \). Это связано с тем, что вписанный круг в квадрат касается всех сторон, а его радиус — половина стороны квадрата.

2. Высота конуса \(SO\) определяется через угол \(\alpha\), который образует боковое ребро пирамиды с плоскостью основания. Из треугольника \(SOC\), где \(O\) — центр квадрата, по определению тангенса: \( \tan \alpha = \frac{SO}{OC} \). Расстояние от центра квадрата до его вершины \(OC = \frac{a}{\sqrt{2}} \), поэтому \( SO = OC \cdot \tan \alpha = \frac{a}{\sqrt{2}} \tan \alpha \). Приведём к удобной форме: \( SO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \).

3. Для нахождения длины образующей конуса \(SU\) используем теорему Пифагора в треугольнике \(SOU\), где \(U\) — точка на окружности основания конуса. \( SU = \sqrt{SO^{2} + OU^{2}} \), где \(OU = r = \frac{a}{2}\). Тогда \( SU = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan \alpha\right)^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2} 2}{4} \tan^{2} \alpha + \frac{a^{2}}{4}} = a \sqrt{\frac{\tan^{2} \alpha}{2} + \frac{1}{4}} \).

4. Площадь боковой поверхности конуса равна \( S_{бок} = \pi r l \), где \(l\) — длина образующей, а \(r\) — радиус основания. Подставляем полученные значения: \( S_{бок} = \pi \frac{a}{2} \cdot a \sqrt{\frac{\tan^{2} \alpha}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{\pi a^{2}}{2} \sqrt{\frac{\tan^{2} \alpha}{2} + \frac{1}{4}} \).