ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса равен \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

Высота конуса \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Пусть \( \tan\alpha = \frac{DO}{\frac{a}{\sqrt{3}}} \), тогда \( DO = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan\alpha \).

Образующая конуса \( l = \sqrt{HO^2 + DO^2} = \sqrt{\frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{3}\tan^2\alpha} = a\sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\tan^2\alpha}{3}} \).

Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot a\sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\tan^2\alpha}{3}} = \frac{\pi a^2}{6}\sqrt{\frac{1}{4} + \tan^2\alpha} \).

Для начала определим радиус основания конуса. Основание конуса вписано в правильный треугольник со стороной \( a \). Радиус описанной окружности правильного треугольника равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), а радиус вписанной окружности — \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). Так как основание конуса совпадает с вписанной окружностью, то его радиус \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

Высота конуса совпадает с расстоянием от центра основания до вершины конуса, которая лежит на описанной окружности. Поэтому высота конуса равна радиусу описанной окружности правильного треугольника, то есть \( h = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Рассмотрим образующую конуса. Пусть точка \( D \) — вершина конуса, \( O \) — центр основания, \( H \) — точка на основании, где образующая касается окружности. Пусть угол между высотой конуса и образующей равен \( \alpha \). Тогда по определению тангенса: \( \tan\alpha = \frac{DO}{h} \), где \( DO \) — расстояние от вершины конуса до центра основания по горизонтали. Следовательно, \( DO = h \tan\alpha = \frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha \). Длина образующей \( l \) находится по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{HO^{2} + DO^{2}} \), где \( HO = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). Тогда \( l = \sqrt{\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\tan\alpha\right)^{2}} = a\sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\tan^{2}\alpha}{3}} \).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \). Подставляем найденные значения радиуса и образующей: \( S_{\text{бок}} = \pi \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot a\sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\tan^{2}\alpha}{3}} \). Упростим выражение под корнем: \( \frac{1}{12} + \frac{\tan^{2}\alpha}{3} = \frac{1 + 4\tan^{2}\alpha}{12} \). Тогда окончательно получаем: \( S_{\text{бок}} = \frac{\pi a^{2}}{6}\sqrt{\frac{1}{4} + \tan^{2}\alpha} \).