ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание пирамиды — прямоугольник, меньшая из сторон которого равна \(a\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание конуса — круг радиуса \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Боковая поверхность конуса: \(S = \pi r^2\).

Учитывая наклон \(\beta\), площадь делится на \(\cos \beta\): \(S = \frac{\pi r^2}{\cos \beta}\).

Подставляем \(r\): \(S = \frac{\pi \left(\frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2}{\cos \beta} = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

1. Пусть длина дуги основания конуса равна \(a\), угол при вершине сектора — \(\alpha\), а угол наклона образующей к плоскости основания — \(\beta\).

2. Радиус основания конуса: \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

3. Высота конуса: \(h = r \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

4. Длина образующей: \(l = \frac{h}{\cos \beta} = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

5. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на длину образующей: \(S = \pi r l\).

6. Подставим выражения для \(r\) и \(l\): \(S = \pi \cdot \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

7. Упростим выражение: \(S = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

8. Заметим, что \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\), тогда: \(S = \frac{\pi a^2 \sin \beta}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \beta}\).

9. Если по условию требуется без \(\sin \beta\), то окончательная формула: \(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

Ответ: \(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).