ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом \(b\) и прилежащим к нему острым углом \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\varphi\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды, равна
\(\frac{\pi b^2}{4 \cos^2 \alpha \cos \varphi}\).

Основание конуса — окружность, описанная около основания пирамиды. Диаметр этой окружности равен \(\frac{b}{\cos \alpha}\). Высота конуса определяется из условия наклона боковых рёбер: \(h = \frac{b}{2\cos\alpha} \tan \varphi\).

Образующая конуса: \(l = \frac{b}{2\cos\alpha \cos\varphi}\).

Площадь боковой поверхности конуса:
\(\pi r l = \pi \cdot \frac{b}{2\cos\alpha} \cdot \frac{b}{2\cos\alpha \cos\varphi} = \frac{\pi b^2}{4 \cos^2 \alpha \cos \varphi}\).

1. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом \(b\) и прилежащим к нему острым углом \(\alpha\). Чтобы описать около такого треугольника конус, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг основания. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенузу выразим через катет \(b\) и угол \(\alpha\): \(\text{гипотенуза} = \frac{b}{\cos\alpha}\), значит, радиус основания конуса \(r = \frac{b}{2\cos\alpha}\).

2. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\varphi\), значит, высота конуса \(h\) и образующая \(l\) связаны следующим образом: образующая \(l\) — это расстояние от вершины конуса до точки на окружности основания, а угол наклона между образующей и высотой конуса равен \(\varphi\). Тогда \(\cos\varphi = \frac{h}{l}\), отсюда \(l = \frac{h}{\cos\varphi}\). Высоту \(h\) можно выразить через радиус: \(h = r \tan\varphi\), но для площади боковой поверхности нам нужен радиус и образующая.

3. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности основания на половину длины образующей: \(S = \pi r l\). Подставляем найденные значения: \(r = \frac{b}{2\cos\alpha}\), \(l = \frac{b}{2\cos\alpha \cos\varphi}\). Тогда \(S = \pi \frac{b}{2\cos\alpha} \cdot \frac{b}{2\cos\alpha \cos\varphi} = \frac{\pi b^{2}}{4\cos^{2}\alpha \cos\varphi}\).