ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и прилежащим к нему углом \(2\alpha\). Радиус описанного конуса: \(r = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\).

Образующая конуса: \(l = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\cos\beta\).

Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi r l = \frac{\pi a^2}{4\sin^2 2\alpha \cos\beta}\).

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и прилежащим к нему углом \(2\alpha\). Для описанного около пирамиды конуса радиус основания равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника. Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника с основанием \(a\) и прилежащим к основанию углом \(2\alpha\) имеет вид: \(r = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\).

Образующая конуса — это отрезок от центра основания до вершины конуса, и по условию задачи все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол \(\beta\). Следовательно, образующая конуса \(l\) будет равна расстоянию от центра основания до вершины, умноженному на \(\cos\beta\), то есть \(l = r \cos\beta\). Подставляя выражение радиуса, получаем \(l = \frac{a}{2\sin 2\alpha}\cos\beta\).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi r l\). Подставляя найденные значения радиуса \(r\) и образующей \(l\), получаем \(S = \pi \cdot \frac{a}{2\sin 2\alpha} \cdot \frac{a}{2\sin 2\alpha}\cos\beta\). После упрощения получается \(S = \frac{\pi a^{2}}{4\sin^{2} 2\alpha \cos\beta}\).