ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

1. Находим полупериметр основания:
\( p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \) см.

2. Вычисляем площадь основания по формуле Герона:
\( S = \sqrt{21 \cdot (21 — 13) \cdot (21 — 14) \cdot (21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84 \) см\(^2\).

3. Радиус описанной окружности:
\( R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} \) см.

4. Образующая конуса:
\( l = \sqrt{\left(\frac{2175}{64}\right) + \left(\frac{4225}{64}\right)} = \sqrt{\frac{6400}{64}} = \sqrt{100} = 10 \) см.

5. Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{бок.} = \pi R l = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{325\pi}{4} \) см\(^2\).

1. Для начала определим полупериметр треугольника, являющегося основанием пирамиды. Его стороны равны 13 см, 14 см и 15 см. Формула для полупериметра:
\( p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) см.
Это значение будет использовано для вычисления площади основания по формуле Герона.

2. Площадь основания треугольника вычисляется по формуле Герона:
\( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \), где \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \), \( p = 21 \).
Подставляем значения:
\( S = \sqrt{21 \cdot (21 — 13) \cdot (21 — 14) \cdot (21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \).
Выполняем поэтапное умножение: \( 21 \cdot 8 = 168 \), \( 168 \cdot 7 = 1176 \), \( 1176 \cdot 6 = 7056 \).
Таким образом, \( S = \sqrt{7056} = 84 \) см\(^2\).

3. Далее находим радиус описанной окружности вокруг основания пирамиды. Формула для радиуса:
\( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \), \( S = 84 \).
Подставляем значения:
\( R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} \).
Сократим дробь: \( \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} \) см.

4. Высота пирамиды по условию равна \( \frac{5\sqrt{87}}{8} \) см.
Образующая конуса определяется по теореме Пифагора:
\( l = \sqrt{h^{2} + R^{2}} \), где \( h = \frac{5\sqrt{87}}{8} \), \( R = \frac{65}{8} \).
Вычислим \( h^{2} = \left(\frac{5\sqrt{87}}{8}\right)^{2} = \frac{25 \cdot 87}{64} = \frac{2175}{64} \),
и \( R^{2} = \left(\frac{65}{8}\right)^{2} = \frac{4225}{64} \).
Складываем: \( l = \sqrt{\frac{2175}{64} + \frac{4225}{64}} = \sqrt{\frac{6400}{64}} = \sqrt{100} = 10 \) см.

5. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
\( S_{бок.} = \pi R l \).
Подставляем значения:
\( S_{бок.} = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \pi \cdot \frac{650}{8} = \frac{325\pi}{4} \) см\(^2\).