ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если в пирамиду \(MABCD\) можно вписать конус, то сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).

Пусть конус вписан в пирамиду \(MABCD\), его ось пересекает плоскости боковых граней в точках, равноудалённых от вершины \(M\) (по высоте), а вписанная окружность касается всех рёбер, выходящих из \(M\).

Пусть площади граней \(AMB, BMC, CMD, AMD\) равны \(S_1, S_2, S_3, S_4\) соответственно.

Вписанность конуса означает, что расстояния от вершины \(M\) до плоскостей граней пропорциональны их площадям, а окружность основания касается всех рёбер основания.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось конуса и центр основания. В этом сечении пары граней \(AMB, CMD\) и \(AMD, BMC\) симметричны относительно оси конуса.

Из симметрии и равенства касательных (радиусов вписанной окружности) следует, что суммы площадей симметричных граней равны: \(S_1 + S_3 = S_2 + S_4\).

То есть, сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\):
\(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\).

Рассмотрим пирамиду \(MABCD\) с вершиной \(M\) и основанием \(ABCD\), и предположим, что в неё можно вписать конус таким образом, что его ось проходит через вершину \(M\) и центр окружности, вписанной в основание \(ABCD\). Вписанность конуса означает, что его боковая поверхность касается всех боковых граней пирамиды, а основание конуса касается всех рёбер основания пирамиды. Пусть площади граней \(AMB, BMC, CMD, AMD\) равны \(S_1, S_2, S_3, S_4\) соответственно.

Поскольку конус вписан, расстояния от вершины \(M\) до плоскостей боковых граней, на которых лежат точки касания, равны для всех граней. Пусть эти расстояния равны \(h_1, h_2, h_3, h_4\) для граней \(AMB, BMC, CMD, AMD\) соответственно. Кроме того, радиусы вписанных окружностей в каждую грань равны, пусть этот радиус равен \(r\). Тогда площадь каждой боковой грани выражается через длину касательной от вершины \(M\) к основанию и высоту: например, для треугольника \(AMB\) площадь \(S_1 = \frac{1}{2} r h_1\), аналогично для остальных граней.

В силу симметрии конуса относительно оси, проходящей через \(M\) и центр основания, пары граней \(AMB\) и \(CMD\), а также \(AMD\) и \(BMC\), оказываются расположены симметрично относительно этой оси. Следовательно, их соответствующие высоты и длины касательных равны, а значит, их площади равны по парам: \(S_1 + S_3 = S_2 + S_4\). Это равенство следует из того, что сумма длин касательных от вершины \(M\) к противоположным сторонам основания одинакова по обе стороны оси симметрии, и радиусы касательных равны.

Таким образом, в случае вписанного конуса выполняется равенство \(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\). Это связано с геометрической симметрией расположения граней относительно оси конуса и равенством касательных от вершины к основанию, что приводит к равенству соответствующих сумм площадей граней пирамиды.