ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(t\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса равна \( \pi r l \).

В треугольнике \( OUK \) по определению синуса: \( \sin \alpha = \frac{t}{OK} \), следовательно, \( OK = \frac{t}{\sin \alpha} \).

Тогда площадь боковой поверхности конуса:

\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{\pi t^2}{\sin^2 \alpha \cos \alpha} \).

1. Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой \( S_{\text{бок. п.}} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( l \) — образующая конуса. В данном случае вписанный конус касается боковых граней пирамиды, а его основание лежит в основании пирамиды, центр основания конуса совпадает с центром основания пирамиды.

2. Пусть \( t \) — расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани. В треугольнике \( OUK \), где \( O \) — центр основания, \( K \) — точка касания основания конуса с боковой гранью, а угол между основанием и боковой гранью равен \( \alpha \), имеем: \( \sin \alpha = \frac{t}{OK} \). Отсюда выражаем длину \( OK \): \( OK = \frac{t}{\sin \alpha} \). Эта длина является радиусом основания конуса.

3. Образующая конуса \( l \) находится как отношение радиуса основания к косинусу двугранного угла, поскольку высота конуса совпадает с расстоянием от центра основания до вершины пирамиды, а образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда \( l = \frac{t}{\sin \alpha \cos \alpha} \). Подставляя значения радиуса и образующей в формулу площади, получаем: \( S_{\text{бок. п.}} = \pi \cdot \frac{t}{\sin \alpha} \cdot \frac{t}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\pi t^{2}}{\sin^{2} \alpha \cos \alpha} \).