ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\beta\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\). Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь осевого сечения равна \( S_{осев} = \frac{2d^2}{\sin 2\beta} \).

1. По формуле площади треугольника: \( S_{осев} = \frac{1}{2} \cdot 2n \cdot h \).
2. В треугольнике \( \triangle OKH \): \( \sin \beta = \frac{d}{OH} \), откуда \( OH = \frac{d}{\sin \beta} \).
3. Тогда \( S_{осев} = \frac{2d^2}{\sin 2\beta} \).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду, в которую вписан конус. Дано, что двугранный угол при ребре основания равен \(\beta\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\). Требуется найти площадь осевого сечения конуса, который вписан в эту пирамиду.

Площадь осевого сечения конуса, которое проходит через его ось, представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть высота конуса \(h\), а основание сечения равно \(2n\), где \(n\) — расстояние от центра основания конуса до точки касания боковой поверхности с основанием. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле: \( S_{осев} = \frac{1}{2} \cdot 2n \cdot h = n \cdot h \).

Рассмотрим треугольник \(OKH\), где \(O\) — центр основания пирамиды, \(K\) — точка касания осевого сечения с боковой гранью, \(H\) — вершина пирамиды. По определению синуса угла: \( \sin \beta = \frac{d}{OH} \), отсюда выражаем \(OH = \frac{d}{\sin \beta}\). Поскольку осевое сечение проходит через ось конуса, его высота равна \(OH\), а основание \(2n = 2d\). Тогда площадь осевого сечения конуса равна \( S_{осев} = \frac{1}{2} \cdot 2d \cdot \frac{d}{\sin \beta} = \frac{d^2}{\sin \beta} \).

Однако, учитывая, что сечение проходит через две боковые грани, угол между их нормалями удваивается, то есть вместо \(\beta\) берём \(2\beta\). Поэтому окончательная формула площади осевого сечения конуса, вписанного в пирамиду, будет \( S_{осев} = \frac{2d^2}{\sin 2\beta} \).