ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\), а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите площадь осевого сечения данного конуса.

Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника, проходящего через ось конуса и вершину пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле:

\(
S_{\text{ос. сеч.}} = \frac{1}{2} a^2 \sin^2 \alpha \tan \beta
\)

где \(a\) — сторона ромба, \(\alpha\) — угол ромба, \(\beta\) — двугранный угол при рёбрах основания.

1. Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через ось конуса и его вершину. В данном случае конус описан около пирамиды, основание которой — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Для нахождения площади осевого сечения нужно определить высоту конуса и длину основания, которые зависят от параметров ромба и углов пирамиды.

2. Сначала найдём высоту пирамиды. Если сторона ромба равна \(a\), то площадь ромба равна \(a^2 \sin \alpha\). Высота пирамиды выражается через двугранный угол \(\beta\) при рёбрах основания. Пусть высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды \(S\) до плоскости основания. По геометрии пирамиды, высота \(h\) выражается как \(h = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\), где \(\tan \beta\) — тангенс двугранного угла между боковой гранью и основанием.

3. Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника, основание которого является диагональю ромба, а высота — высотой пирамиды. Диагональ ромба равна \(a \sin \alpha\), а высота найдена выше. Подставляя значения, получаем: площадь осевого сечения конуса \(S_{\text{ос. сеч.}}\) равна \( \frac{1}{2} \cdot a \sin \alpha \cdot h = \frac{1}{2} a \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta = \frac{1}{4} a^2 \sin^2 \alpha \tan \beta \).