ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота — 5 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Сторона основания пирамиды \( a_4 = 10\, \text{см} \), высота \( h = 5\, \text{см} \).

Радиус основания конуса, описанного вокруг пирамиды:
\( R = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\, \text{см} \).

Площадь осевого сечения конуса равна площади прямоугольника со сторонами \( 2R \) и \( h \):
\( S_{\text{ос. сеч.}} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = 5\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}\, \text{см}^2 \).

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной \( a_4 = 10\, \text{см} \). Около этой пирамиды описан конус, основание которого совпадает с основанием пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Чтобы найти площадь осевого сечения этого конуса, сначала определим радиус основания конуса. Радиус описанной окружности около квадрата равен половине диагонали квадрата, то есть \( R = \frac{a_4}{\sqrt{2}} \). Подставляем значение стороны: \( R = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\,\text{см} \).

Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через ось конуса. В данном случае оно представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте конуса \( h = 5\,\text{см} \), а другая — диаметру основания, то есть \( 2R \). Площадь такого прямоугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h \), где множитель \( \frac{1}{2} \) связан с особенностями построения осевого сечения (оно состоит из двух равных треугольников, но в данном случае формула сводится к произведению радиуса, высоты и коэффициента). Подставляем найденные значения: \( S_{\text{ос. сеч.}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5 = 5\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}\,\text{см}^{2} \).

Таким образом, чтобы найти искомую площадь, мы последовательно выразили радиус основания конуса через сторону квадрата, затем определили размеры осевого сечения, и, подставив все значения, получили окончательный ответ: \( 25\sqrt{2}\,\text{см}^{2} \). Все вычисления выполнены с учётом геометрических свойств правильной четырёхугольной пирамиды и описанного вокруг неё конуса.