ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около конуса описана пирамида, основанием которой является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а высота пирамиды равна \(4\sqrt{2}\) см. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Найдем полупериметр основания:
\( p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30 \) см.

Площадь основания:
\( S = \sqrt{30 \cdot (30 — 6) \cdot (30 — 25) \cdot (30 — 29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = 60 \) см\(^2\).

Радиус вписанной окружности:
\( r = \frac{2 \cdot 60}{6 + 25 + 29} = \frac{120}{60} = 2 \) см.

Высота конуса равна высоте пирамиды:
\( h = 4\sqrt{2} \) см.

Образующая конуса:
\( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi \) см\(^2\).

Для начала, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, необходимо определить радиус основания конуса и длину его образующей. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Сначала находим полупериметр этого треугольника:
\( p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30 \) см.
Далее вычисляем площадь треугольника по формуле Герона:
\( S = \sqrt{30 \cdot (30 — 6) \cdot (30 — 25) \cdot (30 — 29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60 \) см\( ^2 \).

Теперь определяем радиус окружности, вписанной в этот треугольник, который станет радиусом основания конуса. Формула для радиуса вписанной окружности:
\( r = \frac{2S}{a + b + c} \), где \( S \) — площадь треугольника, а \( a, b, c \) — его стороны. Подставляем значения:
\( r = \frac{2 \cdot 60}{6 + 25 + 29} = \frac{120}{60} = 2 \) см.

Высота конуса равна высоте пирамиды, то есть \( h = 4\sqrt{2} \) см. Образующая конуса — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — высота конуса, другой — радиус основания. Находим её по теореме Пифагора:
\( l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = \pi r l \). Подставляем найденные значения радиуса и образующей:
\( S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi \) см\( ^2 \).
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \( 12\pi \) см\( ^2 \).