ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды описан усечённый конус. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если стороны оснований усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а её высота — \(2\sqrt{7}\) см.

Дано: \(a_1 = 8\) см, \(a_2 = 12\) см, \(h = 2\sqrt{7}\) см.

Найдем радиусы оснований:
\(n_1 = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см
\(n_2 = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) см

Образующая:
\(l = \sqrt{h^2 + (n_2 — n_1)^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (6\sqrt{2} — 4\sqrt{2})^2} = \sqrt{28 + 8} = \sqrt{36} = 6\) см

Площадь боковой поверхности:
\(S = \pi (n_1 + n_2) l = \pi (4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = \pi \cdot 10\sqrt{2} \cdot 6 = 60\pi\sqrt{2}\) см\(^2\)

Для решения задачи сначала определим радиусы оснований усечённого конуса, которые соответствуют вписанным окружностям в основания пирамиды. Основания пирамиды — квадраты со сторонами \(a_1 = 8\) см и \(a_2 = 12\) см. Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны, делённой на \(\sqrt{2}\):
\(n_1 = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см,
\(n_2 = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) см.
Эти значения — радиусы оснований усечённого конуса, который описан около пирамиды.

Далее находим длину образующей конуса \(l\). По определению, образующая усечённого конуса — это расстояние между соответствующими точками окружностей оснований, то есть гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — высота пирамиды \(h = 2\sqrt{7}\) см, а другой — разность радиусов \(n_2 — n_1 = 6\sqrt{2} — 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) см.
Тогда
\(l = \sqrt{h^2 + (n_2 — n_1)^2}\),
\(l = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2}\),
\(l = \sqrt{4 \cdot 7 + 4 \cdot 2}\),
\(l = \sqrt{28 + 8}\),
\(l = \sqrt{36}\),
\(l = 6\) см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса:
\(S = \pi (n_1 + n_2) l\).
Подставляем найденные значения:
\(S = \pi (4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot 6\),
\(S = \pi \cdot 10\sqrt{2} \cdot 6\),
\(S = 60\pi\sqrt{2}\) см\(^{2}\).
Это и есть искомая площадь боковой поверхности описанного усечённого конуса.