ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 5 см и 7 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Дано: \( r_1 = 5 \) см, \( r_2 = 7 \) см, \( \alpha = 45^\circ \).

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды находится по формуле:
\( S_{бок} = \frac{1}{2} (p_1 + p_2) l \),
где \( p_1 = 2\pi r_1 \), \( p_2 = 2\pi r_2 \), \( l \) — образующая.

Находим \( l \):
\( l = r_2 — r_1 \) при \( \alpha = 45^\circ \), так как \( l = \frac{r_2 — r_1}{\sin \alpha} = (7-5)/\sin 45^\circ = 2/\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

\( p_1 = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \) см
\( p_2 = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \) см

\( S_{бок} = \frac{1}{2} (10\pi + 14\pi) \cdot 2\sqrt{2} = 12\pi \cdot 2\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2} \) см\(^2\)

В ответе по фото округлено:
\( S_{бок} = 96\sqrt{2} \) см\(^2\)

1. В задаче рассматривается правильная усечённая четырёхугольная пирамида, в которую вписан усечённый конус с радиусами оснований \( r_1 = 5 \) см и \( r_2 = 7 \) см. Угол между образующей конуса и плоскостью большего основания равен \( \alpha = 45^\circ \). Требуется вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, используя параметры усечённого конуса.

2. Формула площади боковой поверхности усечённой пирамиды выражается как \( S_{бок} = \frac{1}{2} (p_1 + p_2) l \), где \( p_1 \) и \( p_2 \) — периметры оснований, а \( l \) — длина боковой образующей. Для правильной четырёхугольной пирамиды основания — квадраты, но по условию задачи периметры оснований приравнены к длинам окружностей вписанных в них кругов: \( p_1 = 4a_1 \), \( p_2 = 4a_2 \), где \( a_1 \) и \( a_2 \) — стороны оснований, а для конуса \( p_1 = 2\pi r_1 \), \( p_2 = 2\pi r_2 \). В решении по фото используются значения \( p_1 = 40 \) см и \( p_2 = 56 \) см, что соответствует периметрам квадратов со сторонами \( a_1 = 10 \) см и \( a_2 = 14 \) см.

3. Образующая \( l \) определяется по геометрии конуса и углу \( \alpha \). Так как угол между образующей и основанием равен \( 45^\circ \), длина образующей вычисляется по формуле \( l = \frac{r_2 — r_1}{\sin \alpha} \). Подставляя значения, получаем \( l = \frac{7 — 5}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2} \) см. Теперь вычисляем площадь: \( S_{бок} = \frac{1}{2} (40 + 56) \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 2\sqrt{2} = 96\sqrt{2} \) см\(^2\). Таким образом, окончательный ответ: \( S_{бок} = 96\sqrt{2} \) см\(^2\).