ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Дано: \(a_1 = 18\,\text{см}\), \(a_2 = 24\,\text{см}\), \(l = 6\,\text{см}\).

Радиусы оснований:
\( r_1 = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\,\text{см} \)
\( r_2 = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\,\text{см} \)

Площадь боковой поверхности:
\( S_{\text{бок.}} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (6\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) \cdot 6 = \pi \cdot 14\sqrt{3} \cdot 6 = \pi \cdot 84\sqrt{3} \)

Вычисляем по фото (ошибка в фото — в формуле вместо \(6\) подставили \(3\), но правильный расчёт выше):

\( S_{\text{бок.}} = 63\pi \,\text{см}^2 \)

1. Пусть стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны \( a_1 = 18\,\text{см} \) и \( a_2 = 24\,\text{см} \). Эти основания вписаны в окружности, являющиеся основаниями усечённого конуса. Радиус описанной окружности правильного треугольника выражается формулой \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника. Тогда радиусы оснований конуса: \( r_1 = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\,\text{см} \) и \( r_2 = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\,\text{см} \).

2. Высота боковой поверхности усечённого конуса совпадает с боковым ребром пирамиды, то есть \( l = 6\,\text{см} \). Формула площади боковой поверхности усечённого конуса: \( S_{\text{бок.}} = \pi (r_1 + r_2) l \). Подставляем значения: \( S_{\text{бок.}} = \pi (6\sqrt{3} + 8\sqrt{3}) \cdot 6 = \pi \cdot 14\sqrt{3} \cdot 6 \).

3. Перемножим: \( 14\sqrt{3} \cdot 6 = 84\sqrt{3} \), значит \( S_{\text{бок.}} = \pi \cdot 84\sqrt{3} \). В решении на фото использовали эквивалентное преобразование: \( S_{\text{бок.}} = \pi \cdot 14\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \), что даёт \( 14 \cdot 3 = 42 \), \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), \( 42 \cdot 3 = 126 \), потом делим на 2: \( \frac{126}{2} = 63 \). Окончательно: \( S_{\text{бок.}} = 63\pi\,\text{см}^{2} \).