ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна \(h\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). В пирамиду вписан конус. Через вершину конуса проведена плоскость. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Если \(0 < \alpha < \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\), сечение — трапеция, площадь вычисляется по формуле:
\(S = \frac{h^2(1 + \sin^2 \alpha)}{4 \sin^2 \alpha}\).

Если \(\arctan \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \alpha < \frac{\pi}{2}\), сечение — треугольник, площадь равна:
\(S = \frac{h^2 \sqrt{2} \cot \alpha}{2}\).

Переход между трапецией и треугольником происходит при \(\alpha = \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\), где сечение касается вершины пирамиды и двух точек основания. Формулы получены через тригонометрические связи между высотой, углом и сторонами сечения.

Если угол \(\alpha\) меньше, чем \(\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\), то сечение пирамиды образует трапецию. В этом случае площадь сечения вычисляется по формуле: \(S = \frac{h^2(1 + \sin^2 \alpha)}{4 \sin^2 \alpha}\), где \(h\) — высота пирамиды, а \(\sin \alpha\) — синус угла между боковой гранью и основанием.

Когда угол \(\alpha\) становится больше или равен \(\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\), сечение становится треугольником. В этом случае его площадь равна: \(S = \frac{h^2 \sqrt{2} \cot \alpha}{2}\), где \(\cot \alpha\) — котангенс угла \(\alpha\).

Переход между трапецией и треугольником происходит именно при \(\alpha = \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}\). Формулы площади выводятся из геометрических свойств пирамиды, используя тригонометрические функции для выражения длин сторон сечения через высоту и угол наклона боковой грани.