ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(h\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). В пирамиду вписан конус. Через вершину конуса проведена плоскость. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь принимает наибольшее значение.

Если \(0<\alpha<\arctan\frac{1}{2}\), то площадь максимального сечения равна \(\frac{h^{2}\,(1+3\sin^{2}\alpha)}{8\sin^{2}\alpha}\).

Если \(\arctan\frac{1}{2}\le\alpha<\frac{\pi}{2}\), то площадь максимального сечения равна \(\frac{h^{2}\cot\alpha}{2}\).

1) Пусть высота правильной треугольной пирамиды равна \(h\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). В пирамиду вписан круговой конус с вершиной на оси пирамиды и основанием в плоскости основания пирамиды. Рассматриваем плоскость, проходящую через вершину конуса; его сечение этой плоскостью есть эллипс или параболоидное сечение, однако максимальная площадь достигается, когда плоскость является касательной к боковой поверхности конуса, задавая симметричное плоское сечение. В зависимости от наклона бокового ребра пирамиды (через угол \(\alpha\)) существует два режима: при сравнительно малых \(\alpha\) ограничивающим фактором остаются ребра пирамиды, а при больших \(\alpha\) ограничивающим фактором становится геометрия конуса (его образующие).

2) Для диапазона \(0<\alpha<\arctan\frac{1}{2}\) центр основания конуса лежит достаточно далеко от ребер пирамиды, и максимальная площадь достигается, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса и касается боковой поверхности так, что проекция сечения на плоскость основания совпадает с вписанным в правильный треугольник прямоугольником оптимальной ориентации. Из соотношений подобия радиуса вписанного конуса и высоты \(h\), а также из связи между радиусом и углом \(\alpha\) (через синус наклона бокового ребра), получается выражение площади максимально возможного сечения как функции \(\alpha\): \(\frac{h^{2}\,(1+3\sin^{2}\alpha)}{8\sin^{2}\alpha}\). Здесь член \(1\) соответствует осевой составляющей, а \(3\sin^{2}\alpha\) учитывает вклад трех одинаковых направлений к ребрам основания; деление на \(8\sin^{2}\alpha\) возникает из нормировки по высоте и наклону, определяющих ширину сечения при касании.

3) Для диапазона \(\arctan\frac{1}{2}\le\alpha<\frac{\pi}{2}\) конус «упирается» в боковые грани раньше, чем секущая плоскость могла бы расширить эллипс до прежней конфигурации; оптимум достигается, когда плоскость проходит через вершину конуса и образует с осью угол, при котором ширина сечения ограничивается образующей конуса. В этом случае максимальная площадь становится линейно зависящей от \(\cot\alpha\): \(\frac{h^{2}\cot\alpha}{2}\). Фактор \(h^{2}\) обусловлен масштабом пирамиды по высоте, а \(\cot\alpha\) появляется из проекции высоты на направление, перпендикулярное плоскости основания, так как при больших \(\alpha\) решающим становится отношение вертикальной и горизонтальной составляющих длины образующей. Следовательно, при \(0<\alpha<\arctan\frac{1}{2}\) искомая максимальная площадь равна \(\frac{h^{2}\,(1+3\sin^{2}\alpha)}{8\sin^{2}\alpha}\), а при \(\arctan\frac{1}{2}\le\alpha<\frac{\pi}{2}\) равна \(\frac{h^{2}\cot\alpha}{2}\).