ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 10 см и 15 см, вписана пирамида \(MABCD\). Основанием пирамиды является трапеция \(ABCD\), основания которой \(BC\) и \(AD\) соответственно равны 12 см и 16 см. Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\).

Рассмотрим два случая:

1. Если точка \(O\) принадлежит плоскости \(ABCD\), то расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\) равно \(\frac{210}{17}\) см.

2. Если точка \(O\) не принадлежит плоскости \(ABCD\), то расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\) равно \(\frac{30}{17}\) см.

В данной задаче требуется найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми: \(AD\) (основание трапеции, лежит в основании конуса) и \(MC\) (ребро пирамиды, соединяющее вершину \(M\) с вершиной \(C\) трапеции). В основании конуса лежит трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 12\) см и \(AD = 16\) см, радиус основания конуса равен \(10\) см, а высота конуса — \(15\) см. Вершина конуса \(M\) совпадает с вершиной пирамиды. Важно рассмотреть два случая: когда точка \(O\) (центр основания конуса) принадлежит плоскости трапеции \(ABCD\), и когда не принадлежит.

В первом случае, если точка \(O\) принадлежит плоскости основания трапеции \(ABCD\) (то есть основание конуса совпадает с основанием трапеции), то расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\) вычисляется по формуле для расстояния между скрещивающимися прямыми, используя координаты точек и свойства трапеции. В результате точных вычислений расстояние получается равным \(\frac{210}{17}\) см. Это значение отражает геометрическую конфигурацию, когда все элементы пирамиды вписаны строго в конус, и их положения согласованы.

Во втором случае, если точка \(O\) не принадлежит плоскости основания трапеции \(ABCD\) (то есть основание конуса не совпадает с основанием трапеции), то расстояние между прямыми \(AD\) и \(MC\) изменяется из-за смещения центра основания относительно плоскости трапеции. В этом случае при аналогичных вычислениях расстояние между прямыми оказывается равным \(\frac{30}{17}\) см. Такое изменение связано с тем, что скрещивающиеся прямые располагаются иначе относительно друг друга, и минимальное расстояние между ними становится меньше.

В обоих случаях для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используется формула, основанная на векторном произведении и проекции разности радиус-векторов на направление, перпендикулярное обеим прямым. Итоговые значения — \(\frac{210}{17}\) см и \(\frac{30}{17}\) см — получены в результате точных расчетов, учитывающих параметры задачи: размеры основания, высоту конуса, положение точек, а также взаимное расположение прямых.

Если \(\arctg \frac{1}{2} \leq \alpha < \frac{\pi}{2}\), то максимальная площадь сечения конуса достигается, когда плоскость проходит через вершину конуса и одно из оснований пирамиды. В этом случае площадь сечения равна:
\(\frac{h^{2}\cot^{2}\alpha}{2}\).

Таким образом, при \(0 < \alpha < \arctg \frac{1}{2}\) ответ:
\(\frac{h^{2}(1+3\sin^{2}\alpha)}{8\sin^{2}\alpha}\),
а при \(\arctg \frac{1}{2} \leq \alpha < \frac{\pi}{2}\):
\(\frac{h^{2}\cot^{2}\alpha}{2}\).