ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со стороной \(a\) и противолежащим ей углом \(\alpha\), а угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите высоту и образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

1. Радиус основания: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)

2. Высота конуса: из треугольника \( DOA \): \( \tan\beta = \frac{DO}{\frac{a}{\sqrt{3}}} \), отсюда \( DO = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan\beta \)

3. Образующая конуса: \( l^2 = h^2 + R^2 \), значит
\( l = \sqrt{ \frac{a^2}{3} \tan^2\beta + \frac{a^2}{3} } = a \sqrt{ \frac{1}{3} (\tan^2\beta + 1) } \)

Основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной \( a \). Вписанный конус имеет основание с радиусом \( R \), который равен радиусу описанной окружности этого треугольника. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). Это значение получается из соотношения между стороной треугольника и радиусом описанной окружности, где центр окружности совпадает с точкой пересечения медиан.

Высота конуса опускается из вершины \( D \) пирамиды на плоскость основания, проходя через центр окружности. Важно заметить, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( \beta \). Если рассмотреть треугольник \( DOA \), где \( O \) — центр основания, а \( DO \) — высота конуса, то по определению тангенса: \( \tan\beta = \frac{DO}{OA} \), где \( OA = R \). Тогда \( DO = R \tan\beta = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan\beta \). Это выражение определяет высоту конуса через известные параметры основания и угол наклона бокового ребра.

Образующая конуса \( l \) — это расстояние от вершины конуса до точки на окружности основания. По теореме Пифагора: \( l^{2} = h^{2} + R^{2} \), где \( h \) — высота конуса, а \( R \) — радиус основания. Подставляя значения, получаем \( l^{2} = \left( \frac{a}{\sqrt{3}}\tan\beta \right)^{2} + \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^{2} \). Преобразуем: \( l^{2} = \frac{a^{2}}{3}\tan^{2}\beta + \frac{a^{2}}{3} \). В итоге, \( l = a \sqrt{ \frac{1}{3} (\tan^{2}\beta + 1) } \). Это окончательная формула для длины образующей конуса, описанного около данной пирамиды.