ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус, радиус основания и высота которого соответственно равны 13 см и 15 см, вписана пирамида \(DABC\). Основанием пирамиды является треугольник \(ABC\), в котором \(AB = 24\) см, а высота \(CK = 10\) см. Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).

Рассмотрим два случая:

1. Если \(O \in AB\), то расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \( \frac{3\sqrt{10}}{2} \) см.

2. Если \(O \notin AB\), то расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \( 5\sqrt{2} \) см.

1. Пусть точка \(O\) принадлежит прямой \(AB\). Треугольник \(ABC\) является основанием пирамиды, при этом \(AB = 24\) см, высота из вершины \(C\) к стороне \(AB\) равна \(10\) см. Вершина \(D\) находится на оси конуса, высота конуса \(15\) см, а радиус основания \(13\) см. В этом случае расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) вычисляется как длина перпендикуляра, проведённого от точки на \(AB\) к прямой \(CD\). По условиям задачи и проведённым расчётам, это расстояние равно \( \frac{3\sqrt{10}}{2} \) см.

2. Если точка \(O\) не принадлежит прямой \(AB\), то расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) будет иным, поскольку перпендикуляр между ними будет иметь другую длину. В этом случае учитывается геометрия расположения вершин пирамиды внутри конуса, а также взаимное положение прямых. Согласно решению, расстояние между \(AB\) и \(CD\) равно \( 5\sqrt{2} \) см.

3. В обоих случаях для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми применяется формула расстояния между прямыми в пространстве, которая учитывает координаты точек, а также направляющие векторы этих прямых. Для пирамиды, вписанной в конус, все точки основания лежат на окружности основания конуса. Вершина \(D\) расположена на оси конуса, что позволяет однозначно определить её положение относительно треугольника \(ABC\) и провести необходимые вычисления для расстояния между заданными прямыми.