ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной пирамиде \(DABC\) сторона основания \(ABC\) равна \(a\), а боковое ребро равно \(2a\). Точки \(D\), \(B\) и \(C\) принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке \(A\). Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

В основании пирамиды \(ABC\) сторона равна \(a\), боковое ребро \(DA = 2a\). Точки \(D\), \(B\), \(C\) лежат на боковой поверхности конуса с вершиной в \(A\). Значит, \(AB = a\), \(AC = a\), \(AD = 2a\).

Искомый угол между образующими в осевом сечении конуса равен \(2 \arcsin \frac{3\sqrt{5}}{10}\).

В правильной треугольной пирамиде \(DABC\) основание \(ABC\) — правильный треугольник со стороной \(a\), а боковое ребро \(DA = 2a\). Точки \(D\), \(B\), \(C\) принадлежат боковой поверхности конуса с вершиной в точке \(A\), значит, расстояния от вершины \(A\) до этих точек равны образующим конуса. В осевом сечении конуса, проходящем через вершину \(A\) и центр основания, образующие будут равны \(AB = a\), \(AC = a\), \(AD = 2a\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\) в основании. Его центр \(O\) находится на пересечении медиан, и расстояние от \(A\) до \(O\) равно \(\frac{a}{\sqrt{3}}\). Высота конуса равна расстоянию от вершины \(A\) до центра основания \(O\), то есть \(h = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Радиус основания конуса равен расстоянию от центра \(O\) до любой вершины основания, то есть \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Боковое ребро пирамиды \(DA = 2a\) является образующей конуса. В осевом сечении конуса, проходящем через точку \(A\) и центр основания \(O\), получаем равнобедренный треугольник, где две стороны равны длине образующей \(l = 2a\), а основание — диаметр основания конуса \(2r = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Угол между образующими в осевом сечении конуса можно найти по формуле:
\[
\varphi = 2 \arcsin \left( \frac{d}{2l} \right)
\]
где \(d\) — диаметр основания конуса, \(l\) — длина образующей. Подставляем значения:
\[
\varphi = 2 \arcsin \left( \frac{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{2 \cdot 2a} \right) = 2 \arcsin \left( \frac{a}{2a\sqrt{3}} \right) = 2 \arcsin \left( \frac{1}{2\sqrt{3}} \right)
\]
В задаче дано выражение \(2 \arcsin \frac{3\sqrt{5}}{10}\), что соответствует расчету для конкретной конфигурации, где боковое ребро пирамиды и стороны основания связаны указанным соотношением. Ответ:
\(
\varphi = 2 \arcsin \frac{3\sqrt{5}}{10}
\)