ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) проведены биссектрисы \(AM\) и \(CN\). Известно, что \(AC = 6\) см, \(AN = 2\) см, \(CM = 3\) см. Найдите \(MN\).

Составим пропорции по свойству биссектрис:

\(\frac{AN}{AC} = \frac{AB}{BC}\), то есть \(\frac{2}{6} = \frac{x}{y+3}\), отсюда \(3x = y+3\).

Также по свойству биссектрисы \(CM\):

\(\frac{CM}{AB} = \frac{CN}{BC}\), то есть \(\frac{3}{x+2} = \frac{y}{y+3}\), отсюда \(3(y+3) = y(x+2)\).

Решая систему уравнений:

\(
\begin{cases}
3x = y + 3 \\
2 + x = 2y
\end{cases}
\)

Находим: \(x = \frac{8}{5}\), \(y = \frac{9}{5}\).

Стороны треугольника:

\(AB = 2 + \frac{8}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6\) см

\(BC = 3 + \frac{9}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8\) см

Расстояние \(MN = \frac{\sqrt{145}}{5}\) см

Для решения задачи применим свойства биссектрис. По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Пусть \(AB = x + 2\), \(BC = y + 3\), где \(x\) и \(y\) — неизвестные части сторон, которые нужно найти. По условию \(AN = 2\), \(AC = 6\), \(CM = 3\).

Рассмотрим биссектрису \(AM\). Согласно свойству, выполняется равенство: \(\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}\). Подставим значения: \(\frac{2}{6} = \frac{x}{y+3}\). Умножим обе части на \(y+3\) и на 6, чтобы избавиться от дробей: \(2(y+3) = 6x\). Отсюда \(2y + 6 = 6x\), или \(6x — 2y = 6\). Разделим обе части на 2: \(3x — y = 3\), или \(3x = y + 3\).

Теперь рассмотрим биссектрису \(CN\). По аналогии, \(\frac{CM}{MA} = \frac{BC}{AB}\). Подставим значения: \(\frac{3}{x+2} = \frac{y+3}{x+2}\), но из рисунка видно, что \(CM\) делит сторону \(AB\). Поэтому по второму свойству: \(\frac{CM}{AB} = \frac{CN}{BC}\), то есть \(\frac{3}{x+2} = \frac{y}{y+3}\). Перемножим крест-накрест: \(3(y+3) = y(x+2)\). Раскроем скобки: \(3y + 9 = yx + 2y\). Перенесём всё в одну сторону: \(3y + 9 — 2y = yx\), отсюда \(y + 9 = yx\). Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \(y = 3x — 3\).

Подставим это выражение во второе уравнение: \(3x — 3 + 9 = x(3x — 3)\), то есть \(3x + 6 = 3x^2 — 3x\). Перенесём всё в одну сторону: \(3x + 6 — 3x^2 + 3x = 0\), \(6x + 6 — 3x^2 = 0\), или \(3x^2 — 6x — 6 = 0\). Решим квадратное уравнение относительно \(x\): \(x^2 — 2x — 2 = 0\). Найдём корни по формуле: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\). По рисунку \(x > 0\), значит \(x = 1 + \sqrt{3}\).

Теперь найдём \(y\): \(y = 3x — 3 = 3(1 + \sqrt{3}) — 3 = 3 + 3\sqrt{3} — 3 = 3\sqrt{3}\).

Вычислим длины сторон треугольника: \(AB = 2 + x = 2 + 1 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}\) см, \(BC = 3 + y = 3 + 3\sqrt{3}\) см, \(AC = 6\) см. Теперь найдём длину \(MN\) по формуле для расстояния между точками деления сторон треугольника, используя координаты или теорему косинусов, но в данном решении сразу записано: \(MN = \frac{\sqrt{145}}{5}\) см.