ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину данной окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Пусть меньший отрезок диаметра равен \(x\), тогда больший — \(x + 27\). Диаметр: \(2x + 27\). Перпендикуляр равен 18.

По теореме Пифагора: \(18^2 = x(x + 27)\), то есть \(324 = x^2 + 27x\).

Решим квадратное уравнение: \(x^2 + 27x — 324 = 0\).

Дискриминант: \(D = 27^2 + 4 \cdot 324 = 729 + 1296 = 2025\), \(\sqrt{2025} = 45\).

Корень: \(x_1 = \frac{-27 + 45}{2} = 9\).

Диаметр: \(2x + 27 = 2 \cdot 9 + 27 = 18 + 27 = 45\), радиус: \(r = \frac{45}{2}\).

Длина окружности: \(C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{45}{2} = 45\pi\) см.

Пусть диаметр окружности разделён точкой на два отрезка: меньший обозначим через \(x\), больший через \(x + 27\), поскольку по условию один из них на 27 см больше другого. Тогда весь диаметр будет равен сумме этих частей, то есть \(x + x + 27 = 2x + 27\). Радиус окружности равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{2x + 27}{2}\).

Перпендикуляр, проведённый из точки окружности на диаметр, равен 18 см. Если обозначить точку пересечения диаметра и перпендикуляра через \(O\), а точку на окружности через \(A\), то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где один катет — перпендикуляр (\(18\)), а другой катет — меньший отрезок диаметра (\(x\)), а гипотенуза — больший отрезок (\(x + 27\)), получаем уравнение: \(18^2 = x(x + 27)\). Это уравнение раскрывается как \(324 = x^2 + 27x\), или \(x^2 + 27x — 324 = 0\).

Рассчитаем дискриминант квадратного уравнения: \(D = 27^2 + 4 \cdot 324 = 729 + 1296 = 2025\). Корень из дискриминанта: \(\sqrt{2025} = 45\). Находим положительный корень уравнения: \(x_1 = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9\). Тогда диаметр окружности равен \(2x + 27 = 2 \cdot 9 + 27 = 18 + 27 = 45\) см. Радиус окружности: \(r = \frac{45}{2}\).

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi r\). Подставляем найденное значение радиуса: \(C = 2\pi \cdot \frac{45}{2} = 45\pi\) см. Это и есть искомая длина окружности.