ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 12 см. Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, гипотенуза: \( \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \) см.

Радиус основания конуса равен половине гипотенузы: \( R = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Образующая конуса: \( l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса: \( S = \pi R l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \) см\(^2\).

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Чтобы найти гипотенузу этого треугольника, используем теорему Пифагора: длина гипотенузы равна \( \sqrt{6^{2} + 8^{2}} \). Вычисляем: \( 6^{2} = 36 \), \( 8^{2} = 64 \), значит, \( \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.

Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы основания, поэтому радиус основания описанного конуса равен половине гипотенузы: \( R = \frac{10}{2} = 5 \) см. Высота пирамиды составляет 12 см и совпадает с высотой конуса, так как ось конуса проходит через вершину, проектируемую в середину гипотенузы. Для нахождения длины образующей конуса воспользуемся формулой для расстояния между вершиной и точкой на окружности основания: \( l = \sqrt{R^{2} + h^{2}} \), где \( h = 12 \) см, \( R = 5 \) см. Получаем: \( l = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S = \pi R l \). Подставляем найденные значения: \( S = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \) см\( ^{2} \). Таким образом, боковая поверхность описанного конуса равна \( 65\pi \) квадратных сантиметров.