ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 12 см. Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание прямоугольник: \(4\sqrt{7}\) и \(12\).

Диагональ основания: \(d = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 + 12^2} = \sqrt{112 + 144} = \sqrt{256} = 16\).

Радиус основания конуса: \(R = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\).

Высота конуса: \(SO = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15\).

Площадь осевого сечения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = 8 \cdot 15 = 120\) см\(^2\).

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами \(4\sqrt{7}\) см и \(12\) см. Чтобы найти диагональ основания, используем теорему Пифагора: диагональ \(d = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 + 12^2}\). Возводим в квадрат первую сторону: \((4\sqrt{7})^2 = 16 \cdot 7 = 112\), вторую: \(12^2 = 144\). Складываем: \(112 + 144 = 256\). Тогда \(d = \sqrt{256} = 16\) см.

Радиус основания описанного конуса равен половине диагонали основания, так как конус описан около пирамиды, а осевое сечение проходит через центр основания. Значит, \(R = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды, которую можно найти по теореме Пифагора для бокового ребра: \(SO = \sqrt{17^2 — 8^2}\), где \(17\) — длина бокового ребра, \(8\) — расстояние от центра основания до вершины основания (радиус). Считаем: \(17^2 = 289\), \(8^2 = 64\), \(289 — 64 = 225\), \(SO = \sqrt{225} = 15\) см.

Площадь осевого сечения конуса равна площади прямоугольника, где одна сторона — диаметр основания (\(2R\)), другая — высота (\(h\)). Формула: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120\) см\(^2\).