ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Радиус основания конуса:
\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

Высота конуса:
\( PH = \frac{a}{2\sqrt{3} \cos \alpha} \)

Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3} \cos \alpha} = \frac{a^2 \pi}{12 \cos \alpha} \)

1. Радиус основания конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, равен радиусу вписанной окружности треугольника основания. Для правильного треугольника со стороной \( a \) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
Этот результат получается из стандартной формулы радиуса вписанной окружности правильного треугольника: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \), что эквивалентно \( \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

2. Высота конуса равна расстоянию от центра основания пирамиды до точки пересечения высоты, опущенной из вершины пирамиды, и плоскости основания. Обозначим это расстояние как \( PH \). В треугольнике \( DOH \) (где \( D \) — вершина пирамиды, \( O \) — центр основания, \( H \) — основание высоты), угол между боковой гранью и основанием равен \( \alpha \). Тогда по определению косинуса:
\( \cos \alpha = \frac{a}{2\sqrt{3} \cdot PH} \),
откуда
\( PH = \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \alpha} \).

3. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая конуса, совпадающая с высотой \( PH \) в данном случае. Подставляем найденные значения:
\( S_{бок} = \pi \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \alpha} = \frac{a^{2}\pi}{12\cos \alpha} \).
Таким образом, площадь боковой поверхности вписанного конуса выражается через сторону основания пирамиды \( a \) и двугранный угол \( \alpha \) при ребре основания.