ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 11.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

1. Высота \(n\) осевого сечения равна \( \frac{a}{2} \).

2. В треугольнике \(SOK\) \(SO = \frac{a}{2} \cdot \tan{\alpha}\).

3. Площадь осевого сечения:
\( \frac{1}{2} \cdot n \cdot SO = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \tan{\alpha} = \frac{a^2}{4} \tan{\alpha} \)

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием \(ABCD\), где сторона основания равна \(a\), а вершина пирамиды — точка \(S\). Осевое сечение конуса, вписанного в пирамиду, проходит через центр основания \(O\) и вершину \(S\). Центр основания находится на пересечении диагоналей квадрата, поэтому его расстояние от любой стороны равно \( \frac{a}{2} \). Высота осевого сечения, то есть расстояние от центра основания \(O\) до вершины \(S\), равна \(n = \frac{a}{2}\).

Рассмотрим треугольник \(SOK\), где \(K\) — середина стороны основания. В этом треугольнике угол при основании равен половине двугранного угла \(\alpha\), а катет \(SO\) можно выразить через тангенс: \(SO = \frac{a}{2} \cdot \tan{\alpha}\). Это следует из определения тангенса: \( \tan{\alpha} = \frac{SO}{n} \), где \(n = \frac{a}{2}\), отсюда \(SO = \frac{a}{2} \tan{\alpha}\).

Площадь осевого сечения находится по формуле площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot n \cdot SO \). Подставляя найденные значения, получаем: \( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \tan{\alpha} = \frac{a^{2}}{4} \tan{\alpha} \).