ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты точки пересечения сферы \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 + (z — 6)^2 = 49\) с осями координат.

— С осью \(Ox\): полагаем \(y=0,\ z=0\). Тогда \((x-2)^2+(0+3)^2+(0-6)^2=49\Rightarrow (x-2)^2+9+36=49\Rightarrow (x-2)^2=\)
\(=4\Rightarrow x=2\pm2\). Точки: \((4;0;0)\) и \((0;0;0)\).

— С осью \(Oy\): полагаем \(x=0,\ z=0\). Тогда \((0-2)^2+(y+3)^2+(0-6)^2=49\Rightarrow 4+(y+3)^2+36=49\Rightarrow (y+3)^2=\)
\(=9\Rightarrow y=-3\pm3\). Точки: \((0;0;0)\) и \((0;-6;0)\).

— С осью \(Oz\): полагаем \(x=0,\ y=0\). Тогда \((0-2)^2+(0+3)^2+(z-6)^2=49\Rightarrow 4+9+(z-6)^2=49\Rightarrow (z-6)^2=\)
\(=36\Rightarrow z=6\pm6\). Точки: \((0;0;0)\) и \((0;0;12)\).

Ответ: \((0;0;0);\ (4;0;0);\ (0;-6;0);\ (0;0;12)\).

1) Чтобы найти точки пересечения со сферой на оси \(Ox\), подставляем \(y=0\) и \(z=0\), так как любая точка оси \(Ox\) имеет вид \((x;0;0)\). Получаем уравнение \((x-2)^{2}+(0+3)^{2}+(0-6)^{2}=49\), то есть \((x-2)^{2}+9+36=49\). Приводим константы: \(9+36=45\), тогда \((x-2)^{2}=49-45=4\). Берём корни квадратного уравнения для квадрата: \(x-2=\pm2\), откуда \(x=2+2=4\) или \(x=2-2=0\). Следовательно, на оси \(Ox\) две точки пересечения: \((4;0;0)\) и \((0;0;0)\). Обратите внимание, что \((0;0;0)\) тоже входит, потому что при \(x=0\) уравнение выполняется, значит начало координат лежит на сфере.

2) Для оси \(Oy\) берём точки вида \((0;y;0)\), то есть подставляем \(x=0\) и \(z=0\). Получаем \((0-2)^{2}+(y+3)^{2}+(0-6)^{2}=49\), что даёт \(4+(y+3)^{2}+36=49\). Складываем константы: \(4+36=40\), тогда \((y+3)^{2}=49-40=9\). Из квадрата имеем \(y+3=\pm3\), откуда \(y=-3+3=0\) или \(y=-3-3=-6\). Значит, точки пересечения с осью \(Oy\): \((0;0;0)\) и \((0;-6;0)\). Здесь снова начало координат появляется естественно как одна из двух симметричных точек относительно центра сферы.

3) Для оси \(Oz\) рассматриваем точки \((0;0;z)\), то есть \(x=0\) и \(y=0\). Подставляем: \((0-2)^{2}+(0+3)^{2}+(z-6)^{2}=49\). Получаем \(4+9+(z-6)^{2}=49\). Складываем константы: \(4+9=13\), отсюда \((z-6)^{2}=49-13=36\). Из квадрата: \(z-6=\pm6\), следовательно \(z=6+6=12\) или \(z=6-6=0\). Значит, точки пересечения с осью \(Oz\): \((0;0;12)\) и \((0;0;0)\). Эти результаты согласуются с геометрией: сфера с центром \((2;-3;6)\) и радиусом \(7\) пересекает каждую координатную ось в двух точках, одна из которых оказывается началом координат.

Ответ: \((0;0;0);\ (4;0;0);\ (0;-6;0);\ (0;0;12)\).