ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(M(-6; 2; -3)\), центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен 7.

Центр сферы \(O(x;0;0)\). Радиус \(7\), значит расстояние от \(O\) до точки \(M(-6;2;-3)\) равно \(7\): \(OM=\sqrt{(x+6)^2+2^2+(-3)^2}=7\).

Подведём под квадрат: \((x+6)^2+4+9=49\), то есть \(x^2+12x+36+13=49\), откуда \(x^2+12x=0\), следовательно \(x=0\) или \(x=-12\).

Если \(x=0\), центр \(O(0;0;0)\), уравнение сферы: \(x^2+y^2+z^2=49\).

Если \(x=-12\), центр \(O(-12;0;0)\), уравнение сферы: \((x+12)^2+y^2+z^2=49\).

1) Пусть центр сферы имеет вид \(O(x;0;0)\), так как он лежит на оси абсцисс. Точка, через которую проходит сфера, задана как \(M(-6;2;-3)\). По определению сферы расстояние от центра до любой точки сферы равно радиусу. Радиус равен \(7\), поэтому выполняется условие расстояния \(OM=7\). Расстояние в пространстве вычисляется по формуле: \(OM=\sqrt{(x-(-6))^{2}+(0-2)^{2}+(0-(-3))^{2}}=\)
\(=\sqrt{(x+6)^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=7\).

2) Возведём обе части равенства в квадрат, чтобы убрать корень: \((x+6)^{2}+4+9=49\). Раскроем квадрат бинома: \((x+6)^{2}=x^{2}+12x+36\). Тогда получаем уравнение \(x^{2}+12x+36+4+9=49\). Сгруппируем постоянные: \(36+4+9=49\), перенесём \(49\) в левую часть и упростим: \(x^{2}+12x+49=49\), откуда \(x^{2}+12x=0\). Разложим на множители: \(x(x+12)=0\). Следовательно, возможны два значения абсциссы центра: \(x=0\) или \(x=-12\). Эти два решения соответствуют двум положениям центра на оси \(Ox\), при которых расстояние до точки \(M\) равно \(7\).

3) Для каждого значения \(x\) запишем уравнение сферы в стандартной форме. Если \(x=0\), то центр \(O(0;0;0)\), и уравнение сферы радиуса \(7\) имеет вид \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\). Если \(x=-12\), то центр \(O(-12;0;0)\), и уравнение сферы радиуса \(7\) запишется как \((x+12)^{2}+y^{2}+z^{2}=49\). Итак, обе искомые сферы, проходящие через точку \(M(-6;2;-3)\) с центром на оси абсцисс и радиусом \(7\), имеют уравнения \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\) и \((x+12)^{2}+y^{2}+z^{2}=49\).