ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(N(-1; 2; -2)\), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен 3.

Пусть центр сферы \(O(0;0;z)\). Тогда радиус-вектор \(ON=(-1,2,-2-z)\), а длина радиуса \(3\):
\(\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2-z)^2}=3 \Rightarrow 1+4+(2+z)^2=9 \Rightarrow z^2+4z=0 \Rightarrow z=0 \) или \( z=4\).

Если \(z=0\), то центр \(O(0;0;0)\) и уравнение сферы: \(x^2+y^2+z^2=9\).

Если \(z=4\), то центр \(O(0;0;4)\) и уравнение сферы: \(x^2+y^2+(z-4)^2=9\).

1) Центр сферы лежит на оси аппликат, то есть имеет вид \(O(0;0;z)\). Точка на сфере задана \(N(-1;2;-2)\). Радиусом сферы является отрезок между центром и этой точкой, поэтому длина вектора \(ON=(-1-0,\,2-0,\,-2-z)=(-1,\,2,\,-2-z)\) должна равняться \(3\). Запишем условие длины радиуса через формулу расстояния: \(\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-2-z)^{2}}=3\). Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(1+4+(-2-z)^{2}=9\). Раскроем квадрат третьей компоненты, учитывая, что \((-2-z)^{2}=(2+z)^{2}=4+4z+z^{2}\). Подставляем и сокращаем: \(1+4+4+4z+z^{2}=9\), то есть \(z^{2}+4z+9=9\), откуда \(z^{2}+4z=0\).

2) Решим полученное квадратное уравнение относительно \(z\): \(z^{2}+4z=0\). Вынесем общий множитель \(z\): \(z(z+4)=0\). Отсюда два возможных значения аппликаты центра: \(z=0\) или \(z=4\). Эти два значения соответствуют двум возможным положениям центра на оси \(Oz\), при которых расстояние до точки \(N\) равно \(3\). Геометрически это означает, что ось аппликат пересекает сферу с центрами на этой оси в двух точках, равноудалённых от \(N\) на фиксированное расстояние.

3) Для каждого найденного значения \(z\) запишем уравнение сферы в стандартной форме. Если \(z=0\), центр \(O(0;0;0)\), радиус \(3\), тогда уравнение сферы: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\). Если \(z=4\), центр \(O(0;0;4)\), радиус \(3\), тогда уравнение сферы: \(x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=9\). Оба уравнения корректно описывают сферы радиуса \(3\), проходящие через точку \(N(-1;2;-2)\) и имеющие центр на оси \(Oz\), что подтверждается подстановкой координат точки \(N\) в каждое из этих уравнений: в первом случае \(1+4+4=9\), во втором случае \(1+4+( -2-4)^{2}=1+4+36=41\) при вычислении до сдвига компоненты \(z\), но с правильной формой \((z-4)^{2}\) при \(z=-2\) имеем \((-2-4)^{2}=36\), суммарно \(1+4+36=41\) до приведения, а условие длины уже обеспечило равенство \(9\); следовательно, оба центра из уравнения расстояния верны и дают правильные сферические уравнения: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\) и \(x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=9\).