ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 — 10x + 14y + 2z + 70 = 0\) является уравнением сферы, укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Сгруппируем по переменным и дополним до квадратов: \((x^2-10x)+(y^2+14y)+(z^2+2z)+70=0\).
Дополняем: \((x^2-10x+25)+(y^2+14y+49)+(z^2+2z+1)=75-70\).
Получаем: \((x-5)^2+(y+7)^2+(z+1)^2=5\).

Следовательно, это уравнение сферы с центром \((5,-7,-1)\) и радиусом \(\sqrt{5}\).

1) Рассмотрим исходное уравнение и сгруппируем члены по переменным, чтобы подготовить завершение квадратов: \((x^2-10x)+(y^2+14y)+(z^2+2z)+70=0\). Цель — преобразовать каждую квадратичную группу в полный квадрат бинома. Для этого к каждой группе добавим недостающий постоянный член: для \(x\) нужен \(+25\), поскольку \((x-5)^2=x^2-10x+25\); для \(y\) нужен \(+49\), поскольку \((y+7)^2=y^2+14y+49\); для \(z\) нужен \(+1\), поскольку \((z+1)^2=z^2+2z+1\). Чтобы сохранить равенство, добавленные константы компенсируем на другой стороне: \((x^2-10x+25)+(y^2+14y+49)+(z^2+2z+1)+70=25+49+1\).

2) Упростим полученное выражение. Слева каждая группа становится квадратом: \((x-5)^2+(y+7)^2+(z+1)^2+70=75\). Перенесем \(70\) в правую часть, вычитая его: \((x-5)^2+(y+7)^2+(z+1)^2=75-70\). Получаем компактную каноническую форму: \((x-5)^2+(y+7)^2+(z+1)^2=5\). Это стандартное уравнение сферы, потому что имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\), где \((a,b,c)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус. Здесь параметры читаются напрямую из сдвигов и правой части.

3) Определим геометрические характеристики. Центр сферы определяется противоположными знаками сдвигов: \((a,b,c)=(5,-7,-1)\), так как \((x-5)^2\) дает \(a=5\), \((y+7)^2\) дает \(b=-7\), \((z+1)^2\) дает \(c=-1\). Радиус находится как корень из правой части: \(R=\sqrt{5}\), поскольку \(R^2=5\). Следовательно, исходное уравнение действительно описывает сферу, ее центр равен \((5,-7,-1)\), а радиус равен \(\sqrt{5}\), что полностью совпадает с приведенным преобразованием: \((x-5)^2+(y+7)^2+(z+1)^2=5\).