ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты центра и радиус сферы \(x^2 + y^2 + z^2 — 16y + 6z = 0\).

Сгруппируем по полным квадратам: \(x^2 + (y^2 — 16y) + (z^2 + 6z) = 0 \Rightarrow x^2 + (y-8)^2 — 64 + (z+3)^2 — 9 = 0\).

Перенесём константы: \(x^2 + (y-8)^2 + (z+3)^2 = 73\).

Центр сферы: \((0;\,8;\,-3)\).

Радиус: \(r=\sqrt{73}\).

1) Рассмотрим сферу, заданную уравнением \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-16y+6z=0\). Чтобы найти центр и радиус, перепишем выражение, выделив полные квадраты по переменным \(y\) и \(z\). Для \(y\): из \(-16y\) видно, что нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при \(y\), то есть \(8\). Запишем \(y^{2}-16y=(y-8)^{2}-64\). Для \(z\): из \(6z\) половина коэффициента равна \(3\), поэтому \(z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9\). Переменная \(x\) уже находится в виде полного квадрата \(x^{2}\), её не изменяем.

2) Подставим эти преобразования в исходное уравнение: \(x^{2}+(y-8)^{2}-64+(z+3)^{2}-9=0\). Сгруппируем квадратичные части слева и перенесём константы вправо: \(x^{2}+(y-8)^{2}+(z+3)^{2}=64+9\). Получим числовую сумму: \(64+9=73\). Таким образом, каноническая форма сферы записывается как \(x^{2}+(y-8)^{2}+(z+3)^{2}=73\), где левая часть представляет сумму квадратов расстояний от точки \((x,y,z)\) до центра, а правая часть — квадрат радиуса.

3) Сравнивая с стандартной формой сферы \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \), определяем координаты центра и радиуса: \(a=0\), \(b=8\), \(c=-3\), а \(r^{2}=73\). Следовательно, центр сферы равен \((0;8;-3)\), а радиус равен \(r=\sqrt{73}\). Это полностью совпадает с полученной канонической записью и подтверждает корректность преобразований через выделение полных квадратов.