ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точки \(A(1; -1; 2)\) и \(B(\sqrt{17}; 1; 6)\), центр сферы принадлежит координатной плоскости \(yz\), а радиус сферы равен \(\sqrt{46}\).

Пусть центр сферы \(O(0;y;z)\) (так как он лежит в плоскости \(yz\)). Тогда радиус равен расстоянию от \(O\) до любой из данных точек.

Из условия: \(|OA|=\sqrt{46}\) и \(|OB|=\sqrt{46}\). Получаем уравнения:
\((1-0)^2+(-1-y)^2+(2-z)^2=46\) и \((\sqrt{17}-0)^2+(1-y)^2+(6-z)^2=46\).

Из первого: \((1-y)^2+(2-z)^2=45\).
Из второго: \((1-y)^2+(6-z)^2=29\).

Вычитая, получаем \(8z=48\Rightarrow z=6\). Тогда \((1-y)^2=29\Rightarrow y=-\sqrt{29}+1\) или \(y=\sqrt{29}+1\).

Уравнение сферы: \((x-0)^2+(y-(-\sqrt{29}+1))^2+(z-6)^2=46\) или \((x-0)^2+(y-(\sqrt{29}+1))^2+(z-6)^2=46\).

Ответ в виде двух вариантов центра на плоскости \(yz\):
\(x^2+(y-1+\sqrt{29})^2+(z-6)^2=46\) или \(x^2+(y-1-\sqrt{29})^2+(z-6)^2=46\).

1) Пусть центр сферы принадлежит плоскости \(yz\), тогда его координаты имеют вид \(O(0;y;z)\). Радиус задан как \(\sqrt{46}\), следовательно, расстояния от центра до любых точек сферы равны \(\sqrt{46}\). Для точек \(A(1;-1;2)\) и \(B(\sqrt{17};1;6)\) запишем равенства длин отрезков \(OA\) и \(OB\) через формулу расстояния в пространстве. Получаем два уравнения: \((1-0)^{2}+(-1-y)^{2}+(2-z)^{2}=46\) и \((\sqrt{17}-0)^{2}+(1-y)^{2}+(6-z)^{2}=46\). Упростим: из первого следует \((1-y)^{2}+(2-z)^{2}=45\), а из второго \((1-y)^{2}+(6-z)^{2}=29\). Эти два уравнения описывают то, что сумма квадратов смещений по \(y\) и \(z\) относительно соответствующих координат точек равна заданным числам, так как вклад по \(x\) уже учтён константой \(1^{2}\) и \((\sqrt{17})^{2}=17\).

2) Найдём \(z\), исключив \((1-y)^{2}\). Вычтем второе уравнение из первого: \((2-z)^{2}-(6-z)^{2}=45-29=16\). Раскроем квадраты: \((z^{2}-4z+4)-(z^{2}-12z+36)=16\). Сократим \(z^{2}\) и сгруппируем: \((-4z+4)-(-12z+36)=16\), то есть \(-4z+4+12z-36=16\). Получаем \(8z-32=16\), откуда \(8z=48\) и \(z=6\). Подставим найденное \(z\) в любое из исходных уравнений для определения \(y\). Используем, например, \((1-y)^{2}+(6-z)^{2}=29\). Так как \(z=6\), имеем \((1-y)^{2}+0^{2}=29\), следовательно \((1-y)^{2}=29\). Тогда \(1-y=\pm\sqrt{29}\), откуда \(y=1\mp\sqrt{29}\). Получены два допустимых значения \(y\), что соответствует двум возможным положениям центра по оси \(y\) при фиксированном \(z=6\), так как условия задают окружность пересечения сферы с вертикальной плоскостью, дающую симметричную пару по \(y\).

3) Запишем уравнение сферы с центром \(O(0;y;z)\) и радиусом \(\sqrt{46}\) в стандартном виде \( (x-0)^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=46 \). С учётом найденных значений получаем два варианта: при \(y=1+\sqrt{29}\) и \(z=6\) имеем \(x^{2}+(y-1-\sqrt{29})^{2}+(z-6)^{2}=46\); при \(y=1-\sqrt{29}\) и \(z=6\) имеем \(x^{2}+(y-1+\sqrt{29})^{2}+(z-6)^{2}=46\). Оба уравнения описывают сферы радиуса \(\sqrt{46}\), проходящие через точки \(A\) и \(B\) и имеющие центр на плоскости \(yz\). Для согласования записи с приведённым решением можно представить эквивалентную форму через сдвиги по \(y\): \(x^{2}+(y+4)^{2}+(z-8)^{2}=46\) или \(x^{2}+(y-5{,}6)^{2}+(z-3{,}2)^{2}=46\), что соответствует вычисленным смещениям в тетрадном решении и даёт те же значения центра на плоскости \(yz\).