ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(C(4; -2\sqrt{10}; -2)\) и начало координат, центр сферы принадлежит координатной плоскости \(xz\), а радиус сферы равен \(3\sqrt{10}\).

Пусть центр сферы \(O_1(x;0;z)\) (так как он лежит в плоскости \(xz\)). Радиус \(R=3\sqrt{10}\).

Из условия: расстояние от \(O_1\) до начала координат равно \(R\): \(\sqrt{x^2+z^2}=3\sqrt{10}\Rightarrow x^2+z^2=90\).

Так как сфера проходит через точку \(C(4;-2\sqrt{10};-2)\), имеем:
\((4-x)^2+(-2\sqrt{10}-0)^2+(-2-z)^2=R^2\).
Отсюда \((4-x)^2+40+(z+2)^2=90\Rightarrow (x-4)^2+(z+2)^2=50\).

Совместно с \(x^2+z^2=90\) получаем из вычитания:
\(x^2-8x+16+z^2+4z+4=50\Rightarrow -8x+4z=-60\Rightarrow 2z-4x=\)
\(=-30\Rightarrow z=2x-15\).

Подставляя в \(x^2+z^2=90\): \(x^2+(2x-15)^2=90\Rightarrow 5x^2-60x+225=90\Rightarrow 5x^2-60x+135=\)
\(=0\Rightarrow x^2-12x+27=0\).
Тогда \(x=3\) или \(x=9\). Соответственно \(z=2\cdot3-15=-9\) или \(z=2\cdot9-15=3\).

Уравнения сферы:
\((x-3)^2+(y-0)^2+(z+9)^2=90\) или \((x-9)^2+y^2+(z-3)^2=90\).

1) Пусть центр сферы \(O_1(x;0;z)\), так как он принадлежит плоскости \(xz\), то его координата по \(y\) равна нулю. Радиус сферы равен \(R=3\sqrt{10}\). Тогда расстояние от центра до начала координат \(O(0;0;0)\) равно радиусу: \(\sqrt{x^{2}+0^{2}+z^{2}}=3\sqrt{10}\), откуда получаем уравнение связи координат центра \((x;z)\): \(x^{2}+z^{2}=90\). Это первое ключевое равенство, которое фиксирует все возможные положения центра на окружности в плоскости \(xz\) с радиусом \(3\sqrt{10}\) и центром в начале координат.

2) Сфера проходит через точку \(C(4;-2\sqrt{10};-2)\), значит расстояние от \(O_1(x;0;z)\) до \(C\) тоже равно \(R\). Запишем формулу расстояния в \(\mathbb{R}^{3}\): \(\big(4-x\big)^{2}+\big(-2\sqrt{10}-0\big)^{2}+\big(-2-z\big)^{2}=R^{2}\). Подставляя \(R^{2}=90\) и упрощая, имеем: \((4-x)^{2}+40+(z+2)^{2}=90\). Переносим константу: \((4-x)^{2}+(z+2)^{2}=50\). Это второе равенство, задающее круг возможных центров в плоскости \(xz\), для которых точка \(C\) лежит на сфере радиуса \(3\sqrt{10}\) с центром \(O_1\).

3) Совместим два равенства для \(x\) и \(z\). Раскроем скобки во втором: \(x^{2}-8x+16+z^{2}+4z+4=50\). Сгруппируем члены и сравним с первым \(x^{2}+z^{2}=90\): вычитая, получаем линейную связь координат центра \(O_1\): \(-8x+4z=-60\), то есть \(2z-4x=-30\), откуда \(z=2x-15\). Подставим это выражение в окружность \(x^{2}+z^{2}=90\): \(x^{2}+\big(2x-15\big)^{2}=90\). Раскрывая квадрат, получаем \(x^{2}+4x^{2}-60x+225=90\), то есть \(5x^{2}-60x+135=0\). Делим на \(5\): \(x^{2}-12x+27=0\). Решая квадратное уравнение, находим \(x_{1}=3\) и \(x_{2}=9\). По формуле \(z=2x-15\) получаем соответствующие \(z\): при \(x=3\) имеем \(z=-9\), а при \(x=9\) имеем \(z=3\). Оба варианта удовлетворяют \(x^{2}+z^{2}=90\), следовательно, существуют две возможные позиции центра \(O_1\): \(O_1(3;0;-9)\) и \(O_1(9;0;3)\).

4) Запишем уравнение сферы в стандартной форме \(\big(x-x_{0}\big)^{2}+\big(y-y_{0}\big)^{2}+\big(z-z_{0}\big)^{2}=R^{2}\) для каждого центра, используя \(R^{2}=90\). Для \(O_1(3;0;-9)\) получаем \((x-3)^{2}+(y-0)^{2}+(z+9)^{2}=90\). Для \(O_1(9;0;3)\) получаем \((x-9)^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=90\). Обе сферы проходят через \(O\) и \(C\), их центры лежат в плоскости \(xz\), а радиус равен \(3\sqrt{10}\), что полностью удовлетворяет условиям задачи.