ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно 4 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки \(A\), \(B\), \(C_1\) и середину ребра \(B_1C_1\).

Расположим куб с вершинами: \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C_1(4,4,4)\), \(B_1(4,0,4)\). Середина ребра \(B_1C_1\): \(M\left(4,\frac{4}{2},4\right)=(4,2,4)\).

Центр сферы — середина отрезка \(AB\), поскольку хорда \(AB\) перпендикулярна оси возможной симметрии: \(O(2,0,0)\). Проверим равенство расстояний:
\(OA=\sqrt{(2-0)^2+0^2+0^2}=2\),
\(OB=\sqrt{(2-4)^2+0^2+0^2}=2\),
\(OC_1=\sqrt{(2-4)^2+(0-4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6\),
\(OM=\sqrt{(2-4)^2+(0-2)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}\).

Так как расстояния до точек различны, центр выбран неверно. Ищем сферу по четырём точкам: решаем систему равенства расстояний до центра \(X(x,y,z)\) и радиуса \(r\):
\((x^2+y^2+z^2)=r^2\),
\((x-4)^2+y^2+z^2=r^2\),
\((x-4)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=r^2\),
\((x-4)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=r^2\).

Из первой и второй: \(x=2\). Подставляя в третью: \((2-4)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=r^2\). Из третьей и четвертой: \((y-4)^2+(z-4)^2=(y-2)^2+(z-4)^2\Rightarrow y=3\). Тогда из первой: \(r^2=2^2+3^2+z^2=13+z^2\). Из третьей: \(r^2=4+(3-4)^2+(z-4)^2=4+1+(z-4)^2=5+(z-4)^2\). Приравнивая: \(13+z^2=5+(z-4)^2=5+z^2-8z+16\Rightarrow 13+z^2=21+z^2-8z\Rightarrow\)
\(\Rightarrow 8z=8\Rightarrow z=1\). Тогда \(r^2=13+1=14\).

Ответ: \(r=\sqrt{14}\,\text{см}\).

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы его ребро было параллельно осям: \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C_1(4,4,4)\), \(B_1(4,0,4)\). Середина ребра \(B_1C_1\) находится как среднее арифметическое координат его концов: \(M\left(\frac{4+4}{2},\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2}\right)=(4,2,4)\). Искомая сфера должна иметь центр \(X(x,y,z)\) и радиус \(r\), причем расстояния от центра до четырёх заданных точек равны: \(XA=r\), \(XB=r\), \(XC_1=r\), \(XM=r\). Запишем эти условия через формулы расстояния в пространстве: \((x^{2}+y^{2}+z^{2})=r^{2}\) для точки \(A\); \((x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\) для точки \(B\); \((x-4)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\) для точки \(C_1\); \((x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\) для точки \(M\). Это система уравнений на неизвестные \(x,y,z,r\).

Вычтем из второго уравнения первое: \((x-4)^{2}-x^{2}=0\Rightarrow x^{2}-8x+16-x^{2}=0\Rightarrow -8x+16=0\Rightarrow x=2\). Подставим \(x=2\) в третье и четвёртое уравнения. Для третьего получаем \((2-4)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\Rightarrow 4+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\). Для четвёртого: \((2-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\Rightarrow 4+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=r^{2}\). Вычтем теперь третье из четвёртого, чтобы исключить \(r^{2}\) и \(z\): \(4+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}-\big(4+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}\big)=0\Rightarrow\)
\(\Rightarrow (y-2)^{2}-(y-4)^{2}=0\). Раскроем квадраты: \((y^{2}-4y+4)-(y^{2}-8y+16)=0\Rightarrow -4y+4+8y-16=0\Rightarrow\)
\(\Rightarrow 4y-12=0\Rightarrow y=3\).

Теперь найдём \(z\) и \(r\). Из первого уравнения при \(x=2\) и \(y=3\): \(r^{2}=2^{2}+3^{2}+z^{2}=4+9+z^{2}=13+z^{2}\). Из третьего уравнения при \(x=2\) и \(y=3\): \(r^{2}=4+(3-4)^{2}+(z-4)^{2}=4+1+(z-4)^{2}=5+(z-4)^{2}\). Приравняем выражения для \(r^{2}\): \(13+z^{2}=5+(z-4)^{2}=5+z^{2}-8z+16\Rightarrow 13+z^{2}=21+z^{2}-8z\Rightarrow\)
\(\Rightarrow 8z=8\Rightarrow z=1\). Возвращаясь к \(r^{2}\), получаем \(r^{2}=13+1=14\), следовательно \(r=\sqrt{14}\).

Итак, центр искомой сферы имеет координаты \(X(2,3,1)\), что геометрически соответствует точке внутри куба, равноудалённой от четырёх заданных точек. Проверка равенства расстояний подтверждается подстановкой: \(XA=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}\), \(XB=\sqrt{(2-4)^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}\), \(XC_1=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-4)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{14}\), \(XM=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{14}\). Таким образом все четыре расстояния равны, и радиус сферы равен \(r=\sqrt{14}\,\text{см}\).