ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера радиуса \(\sqrt{41}\) см проходит через вершины \(B\), \(C\), \(C_1\) и середину ребра \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите ребро куба.

Рассмотрим куб со стороной \(a\) и координатами: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(A_{1}(0,0,a)\), \(D_{1}(0,a,a)\), \(C_{1}(a,a,a)\). Средина ребра \(A_{1}D_{1}\): \(M\left(0,\frac{a}{2},a\right)\). Центр сферы \(O(x,y,z)\). Из равенств \(OB=OC\) и \(OC=OC_{1}\) получаем \(y=\frac{a}{2}\) и \(z=\frac{a}{2}\), то есть \(O\left(x,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\).

Приравнивая \(OB^{2}\) и \(OM^{2}\): \((x-a)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=x^{2}+\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}\), получаем \((x-a)^{2}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}\), откуда \(x=\frac{5a}{8}\).

Радиус: \(R^{2}=OB^{2}=\left(\frac{5a}{8}-a\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{41a^{2}}{64}\). По условию \(R=\sqrt{41}\), значит \(\frac{41a^{2}}{64}=41\), откуда \(a=8\).

1) Введем координаты куба со стороной \(a\). Положим \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), верхние вершины \(A_{1}(0,0,a)\), \(B_{1}(a,0,a)\), \(C_{1}(a,a,a)\), \(D_{1}(0,a,a)\). Средняя точка ребра \(A_{1}D_{1}\) равна \(M\left(0,\frac{a}{2},a\right)\). Сфера радиуса \(\sqrt{41}\) проходит через точки \(B\), \(C\), \(C_{1}\) и \(M\). Обозначим центр сферы \(O(x,y,z)\). Тогда расстояния от \(O\) до этих точек равны, то есть равны квадрату радиуса, а значит попарно равны между собой.

2) Приравняем квадраты расстояний до \(B\) и \(C\). Имеем \(OB^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\) и \(OC^{2}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+z^{2}\). Равенство \(OB^{2}=OC^{2}\) дает \((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+z^{2}\), отсюда \(y^{2}=(y-a)^{2}\), что приводит к \(y=\frac{a}{2}\) (симметрия относительно середины отрезка по оси \(y\)). Аналогично приравняем \(OC^{2}\) и \(OC_{1}^{2}\): \(OC_{1}^{2}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+(z-a)^{2}\). Из равенства \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}+z^{2}=(x-a)^{2}+(y-a)^{2}+(z-a)^{2}\) следует \(z=\frac{a}{2}\) (симметрия по оси \(z\)). Таким образом, центр сферы лежит на линии, проходящей через точки, симметричные относительно середины соответствующих координат, и имеет вид \(O(x,\frac{a}{2},\frac{a}{2})\).

3) Используем равенство расстояний от \(O\) до \(B\) и до \(M\). Запишем \(OB^{2}=(x-a)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\). Для точки \(M\) получаем \(OM^{2}=x^{2}+\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}=x^{2}+0+\left(-\frac{a}{2}\right)^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}\). Приравнивая \(OB^{2}=OM^{2}\), имеем \((x-a)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}\). Сокращая одинаковые слагаемые, получаем \((x-a)^{2}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}\). Раскрывая скобки: \(x^{2}-2ax+a^{2}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}\), откуда \(-2ax+\frac{5a^{2}}{4}=0\) и \(x=\frac{5a}{8}\). Однако проверим непосредственно подстановкой в сокращенную форму \((x-a)^{2}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}\): переносим \((x-a)^{2}\) вправо, получаем \(\frac{a^{2}}{4}=x^{2}-(x-a)^{2}=x^{2}-x^{2}+2ax-a^{2}=2ax-a^{2}\). Тогда \(2ax=\frac{5a^{2}}{4}\) и действительно \(x=\frac{5a}{8}\). Но удобнее решить исходное уравнение через разность квадратов: \((x-a)^{2}=x^{2}-\frac{a^{2}}{4}\), раскрывая левую часть \(x^{2}-2ax+a^{2}=x^{2}-\frac{a^{2}}{4}\), получаем \(-2ax+a^{2}=-\frac{a^{2}}{4}\), то есть \(-2ax=-\frac{5a^{2}}{4}\), отсюда \(x=\frac{5a}{8}\). Проверим согласованность с радиусом: вычислим \(R^{2}=OB^{2}=(x-a)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\). Подставляя \(x=\frac{5a}{8}\), имеем \((\frac{5a}{8}-a)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=(\frac{-3a}{8})^{2}+\frac{a^{2}}{2}=\frac{9a^{2}}{64}+\frac{32a^{2}}{64}=\frac{41a^{2}}{64}\).

4) По условию \(R=\sqrt{41}\), значит \(R^{2}=41\). Следовательно \(\frac{41a^{2}}{64}=41\), откуда \(a^{2}=\frac{64\cdot 41}{41}=64\) и \(a=8\). Таким образом, ребро куба равно \(8\).