ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что центр сферы является её центром симметрии.

Пусть дана сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\). Возьмём произвольную точку \(A\) на сфере, то есть \(OA=R\). Рассмотрим точку \(A’\), симметричную \(A\) относительно \(O\), то есть \(O\) — середина отрезка \(AA’\), и потому \(OA’=OA=R\). Следовательно, \(A’\) также лежит на сфере. Так как для любой точки \(A\) на сфере её отражение \(A’\) относительно \(O\) снова принадлежит сфере, то отображение центральной симметрии относительно \(O\) сохраняет сферу.

Объяснение: Центральная симметрия относительно \(O\) переводит каждую точку на расстоянии \(R\) от \(O\) в точку на том же расстоянии \(R\). Следовательно, вся сфера отображается в себя, а \(O\) является центром симметрии сферы.

Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R>0\), то есть множество всех точек \(X\) пространства, для которых выполняется равенство \(OX=R\). Возьмём произвольную точку \(A\) на сфере, тогда по определению \(OA=R\). Определим отображение центральной симметрии относительно точки \(O\): каждой точке \(X\) ставится в соответствие точка \(X’\) так, что \(O\) является серединой отрезка \(XX’\), а векторное равенство имеет вид \(\overrightarrow{OX’}=-\overrightarrow{OX}\). Для выбранной точки \(A\) получим точку \(A’\) с условием \(O\) — середина \(AA’\), то есть \(\overrightarrow{OA’}=-\overrightarrow{OA}\). Из этого следует, что длины векторов равны: \(|\overrightarrow{OA’}|=|\overrightarrow{OA}|=R\), следовательно, \(OA’=R\), а значит, \(A’\) также принадлежит сфере.

Ключевое свойство сохраняемости расстояний при центральной симметрии относительно \(O\) легко обосновывается: для любой точки \(X\) имеем \(\overrightarrow{OX’}=-\overrightarrow{OX}\), откуда \(|\overrightarrow{OX’}|=|\overrightarrow{OX}|\). Поэтому, если \(X\) лежит на сфере, то есть \(OX=R\), то и образ \(X’\) удовлетворяет \(OX’=R\), а значит, \(X’\) снова точка той же сферы. Это показывает, что центральная симметрия относительно \(O\) переводит множество всех точек на расстоянии \(R\) от \(O\) в себя, то есть сохраняет сферу как геометрическое множество.

Итак, для любой точки \(A\) на сфере её образ \(A’\) при симметрии относительно \(O\) также лежит на той же сфере, причём соответствие взаимно однозначно и инволютивно: повторное применение даёт \((A’)’=A\). Следовательно, сфера инвариантна относительно центральной симметрии с центром \(O\). По определению центра симметрии фигуры это означает, что существует такая точка \(O\), относительно которой фигура отображается в себя центральной симметрией. Следовательно, \(O\) является центром симметрии сферы.