ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите геометрическое место точек, удалённых на расстояние \(d\) от данной сферы радиуса \(r\).

Решение: Множество точек, находящихся на расстоянии \(d\) от сферы радиуса \(r\) с центром \(O\), образует объединение двух сфер с тем же центром \(O\): внешней сферы радиуса \(r+d\) и, при \(d \le r\), внутренней сферы радиуса \(r-d\).

Пояснение: Расстояние точки \(X\) до сферы равно \(\bigl|\;|OX|-r\;\bigr|\). Условие \(\bigl|\;|OX|-r\;\bigr|=d\) эквивалентно системе \( |OX|=r+d \) или \( |OX|=r-d \). Поэтому ГМТ — сфера радиуса \(r+d\) и, если \(d \le r\), ещё и сфера радиуса \(r-d\); при \(d>r\) остаётся только сфера радиуса \(r+d\), при \(d=r\) внутренняя вырождается в точку центра.

1) Решение: Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии \(d\) от данной сферы радиуса \(r\) с центром \(O\), описывается условием для произвольной точки \(X\): расстояние от \(X\) до поверхности сферы равно модулю разности между расстоянием до центра и радиусом, то есть \(\bigl||OX|-r\bigr|=d\). Это эквивалентно объединению двух сфер концентрических с исходной: внешней сферы радиуса \(r+d\) и, при условии \(d\le r\), внутренней сферы радиуса \(r-d\). Таким образом, множество состоит из всех точек \(X\), для которых \( |OX|=r+d \) или \( |OX|=r-d \).

2) Пояснение: Определим расстояние от точки \(X\) до сферы как минимальное расстояние до точек её поверхности. Для сферы центра \(O\) и радиуса \(r\) ближайшая к \(X\) точка на сфере лежит на луче \(OX\). Тогда расстояние до поверхности равно \(\bigl||OX|-r\bigr|\): если \( |OX|\ge r \), то расстояние до поверхности равно \( |OX|-r \); если \( |OX|<r \), то точка внутри сферы и расстояние до поверхности равно \( r-|OX| \). Условие требуемого расстояния \(d\) даёт \(\bigl||OX|-r\bigr|=d\), что распадается на два уравнения \( |OX|=r+d \) и \( |OX|=r-d \). Каждое уравнение задаёт сферу с центром \(O\), радиусов \(r+d\) и \(r-d\) соответственно.

3) Частные случаи: если \( d<r \), получаем две непересекающиеся концентрические сферы радиусов \(r+d\) и \(r-d\); если \( d=r \), внутреннее уравнение даёт \( |OX|=0 \), то есть единственную точку центра \(O\), а внешняя сфера остаётся радиуса \(2r\); если \( d>r \), уравнение \( |OX|=r-d \) не имеет смысла для положительного радиуса, так как \(r-d<0\), следовательно эта ветвь даёт \(\emptyset\), и остаётся единственная сфера \( |OX|=r+d \). В итоге геометрическое место всегда является объединением сферы радиуса \(r+d\) с возможным добавлением сферы радиуса \(r-d\) при \(d\le r\).

4) Итоговая формулировка: множество всех точек, удалённых на расстояние \(d\) от данной сферы радиуса \(r\) с центром \(O\), есть объединение поверхностей \(S_{r+d}=\{X:\ |OX|=r+d\}\) и \(S_{r-d}=\{X:\ |OX|=r-d\}\) при \(d\le r\); при \(d>r\) получаем только \(S_{r+d}\); при \(d=r\) дополнительно возникает вырожденный случай \(S_{0}=\{O\}\).

5) Проверка корректности: у каждой точки \(X\) на сфере \( |OX|=r+d \) расстояние до исходной сферы равно \( (r+d)-r=d \). У каждой точки \(X\) на сфере \( |OX|=r-d \) при \(d\le r\) расстояние до исходной сферы равно \( r-(r-d)=d \). Обратное тоже верно: если \(\bigl||OX|-r\bigr|=d\), то либо \( |OX|=r+d \), либо \( |OX|=r-d \), других вариантов нет. Следовательно, геометрическое место полностью описывается указанными концентрическими сферами.